この記事では、「確率」の意味や公式をできるだけわかりやすく解説していきます。
くじやサイコロなどの問題を通して、計算式の立て方と確率の求め方を説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！
目次
確率とは？
確率とは、ある事象（出来事）の起こりやすさ（割合）のことです。
確率は、英単語「Probability」の頭文字をとって、記号 \(P\) で表します。
ある事象 \(A\) が起こる確率は、\(\color{red}{P(A)}\) と表せる。
確率の定義
ここで、確率の定義を確認しましょう。
ある試行において、すべての事象の起こる確率が同様に確からしいとき、起こりうるすべての事象を \(U\)、ある事象を \(A\) とすると、\(A\) が起こる確率 \(P(A)\) は
\begin{align}\color{red}{P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)}}\end{align}
- \(n(A)\)：\(A\) が起こる場合の数
- \(n(U)\)：\(U\) が起こる場合の数
つまり、求めたい事象の場合の数を、起こりうるすべての事象の場合の数で割ると確率が求められます。
何度か問題を解くうちに理解が深まるので、今の段階では「なんとなくわかった」で大丈夫です。
確率のとりうる値の範囲
確率には、とりうる値の範囲が存在します。
ある事象 \(A\) の確率 \(P(A)\) のとりうる値の範囲は、
\begin{align}\color{red}{0 \leq P(A) \leq 1}\end{align}
特に
\begin{align}\color{red}{P(\emptyset) = 0, P(U) = 1}\end{align}
確率は、\(0\) を下回ることも \(1\) を超えることもありません。
「(絶対にその事象が起こらない確率) \(= 0\)」、「(ある事象が必ず起こる確率) \(= 1\)」ということですね。
降水確率などのように、確率をパーセント（%）で表すこともあります。
これは、確率を百分率に変換しているだけです。
確率の問題では、特に指示がない限りは \(0\) ~ \(1\) の間の割合（分数または小数）で答えるようにしましょう。
確率の求め方【手順】
確率の問題は、基本的に次の \(4\) つのSTEPで解くことができます。
起こりうるすべての事象を \(U\)、注目する事象を任意の大文字アルファベット（\(A\) など）で表します。
このステップは絶対というわけではありませんが、決めておくと頭の中が整理できてオススメです。
次に、起こりうるすべての事象 \(U\) の場合の数 \(n(U)\) を求めます。
ここで、問題で注目している事象（仮に \(A\) とする）について考えます。
場合の数 \(n(A)\) を、取りこぼしのないように慎重に求めます。
最後に、注目事象の場合の数 \(n(A)\) を全事象の場合の数 \(n(U)\) で割れば、確率が求められます！
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)}\)
STEP.2およびSTEP.3の計算式は、基本的に「数え上げ」「順列」「組み合わせ」の \(3\) 通りの方法で立てられます。
計算式の立て方【例題】
それでは、「数え上げ」「順列」「組み合わせ」それぞれによる計算式の立て方を、例題で説明します。
STEP.2およびSTEP.3の計算式に注目してくださいね。
例題①「数え上げ」で解く
まずは、数え上げで解く例題です。
大小 \(2\) つのサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が \(4\) になる確率を求めよ。
サイコロの問題では、目の出方が \(1\) ~ \(6\) とはっきりしており、場合の数も比較的少ないため、数え上げで解けることが多いです。
（STEP.1）
大小 \(2\) つのサイコロを同時に投げるとき、起こりうるすべての事象を \(U\)、出た目の和が \(4\) になる事象を \(A\) とする。
また、それぞれの出た目を (大の目, 小の目) と表記する。
（STEP.2）
全事象の場合の数は、
\(U = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), \cdots, (6, 6)\}\) の \(36\) 通り。
（大小それぞれが \(6\) 通りの目をとれるので、\(6 \times 6 = 36\)）
よって \(n(U) = 36\)
（STEP.3）
事象 \(A\) の場合の数は、
\(A = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\}\) の \(3\) 通り。
よって \(n(A) = 3\)
（STEP.4）
したがって、求める確率 \(P(A)\) は
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
答え： \(\displaystyle \frac{1}{12}\)
このように、場合の数を数え上げるのが容易なら、ささっと数えてしまいましょう。
サイコロを \(2\) 個投げる、またはサイコロを \(2\) 回投げる問題のときには、直交表を作るのもオススメです。
問題で聞かれている事象をマスに埋めていけば、簡単に場合の数を数え上げることができます！
例題②「順列」の考え方で解く
続いて、順列の考え方で解く例題です。
A、B、C、D、E の \(5\) 人が \(1\) 列に並ぶとき A、B が隣り合う確率を求めよ。
人の並び方など、順番に意味がある問題では、順列の考え方で場合の数を求められます。
（STEP.1）
A、B が隣り合う事象を \(X\)、全事象を \(U\) とし、それぞれの場合の数を \(n(X)、n(U)\) とする。
（STEP.2）
\(n(U)\) は \(5\) 人全員の並び方の総数であるから、
\(\begin{align}n(U) & = {}_5 \mathrm{P}_5\\&= 5 !\\&= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\&= 120\end{align}\)
（STEP.3）
A、B が隣り合う並び方は、A、B の \(2\) 人をまとめて \(1\) 人ととらえ、\(4\) 人の並べ方を考えたあと、A、B の並べ方を考えればよい。
\(4\) 人の並べ方は \({}_4 \mathrm{P}_4\)、\(2\) 人の並べ方は \({}_2 \mathrm{P}_2\) であるから、
\(\begin{align}n(X) &= {}_4 \mathrm{P}_4 \times {}_2 \mathrm{P}_2 \\&= 4 ! \times 2 ! \\&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \times 2 \cdot 1 \\&= 24 \times 2 \\&= 48\end{align}\)
（STEP.4）
よって求める確率 \(P(X)\) は
\(P(X) = \displaystyle \frac{n(X)}{n(U)} = \displaystyle \frac{48}{120} = \displaystyle \frac{2}{5}\)
答え： \(\displaystyle \frac{2}{5}\)
「〜を並べる」「並ぶ」などのキーワードが入っていれば間違いなく順列で解けますが、中には一見順列の問題とはわかりにくいものもあります。
問題文を読んだときに、具体的な事象を思い浮かべて、順番を並べ替えたときに別の場合とカウントできるかを考えるのがポイントです。
例題③「組み合わせ」の考え方で解く
最後に、組み合わせの考え方で解く例題です。
\(12\) 本のくじの中に当たりくじが \(4\) 本入っている。
同時に \(2\) 本引くとき、\(2\) 本とも当たりとなる確率を求めよ。
ただ何かを選ぶ／取り出すなど、順番を考える必要がないときは、組み合わせの考えで解くことができます。
この問題のように、同じものを区別しなくていいときにも組み合わせが使えます。
（STEP.1）
\(2\) 本とも当たりくじを引く事象を \(A\)、全事象を \(U\) とし、それぞれの場合の数を \(n(A)\)、\(n(U)\) と表す。
（STEP.2）
\(12\) 本から \(2\) 本を選ぶ場合の数 \(n(U)\) は、
\(n(U) = {}_{12} \mathrm{C}_2 = \displaystyle \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66\)（通り）
（STEP.3）
\(4\) 本から \(2\) 本を選ぶ場合の数 \(n(A)\) は、
\(n(A) = {}_4 \mathrm{C}_2 = \displaystyle \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)（通り）
（STEP.4）
よって求める確率 \(P(A)\) は
\(P(A) = \displaystyle \frac{6}{66} = \displaystyle \frac{1}{11}\)
答え： \(\displaystyle \frac{1}{11}\)
確率の用語
ここで、確率にまつわる用語の意味を確認しておきましょう。
試行と事象
試行
同じ条件で何度も繰り返すことができ、その結果が偶然によって決まる観測や実験のこと。
事象
試行の結果起こる出来事。
事象は、「集合」で表すことができます。
起こりうる全事象を \(U\)、個々の事象を \(A, B, C\)… などと表すことが多いです。
例えば、「サイコロを \(1\) 個振る」という試行と、その結果起こる事象について考えてみましょう。
サイコロには \(1\) ~ \(6\) の目があるので、起こりうる全事象 \(U\) は次のように表せます。
- \(U = \{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6\}\)
さらに、この試行では
- \(\color{orange}{A}\) : 「\(2\) の目が出る」
- \(\color{skyblue}{B}\) : 「偶数の目が出る」
- \(\color{limegreen}{C}\) : 「\(4, 5, 6\) の目が出る」
などの事象を考えることができ、これらは \(U\) の部分集合として次のように表せます。
- \(\color{orange}{A} = \{2\}\)
- \(\color{skyblue}{B} = \{2, 4, 6\}\)
- \(\color{limegreen}{C} = \{4, 5, 6\}\)
同様に確からしい
同様に確からしい
どの事象が起こることも同程度に期待できること。
確率の公式を使えるのは、「ある試行において、すべての事象の起こる確率が同様に確からしいとき」に限られます。
例えば、形がいびつなサイコロを振ったときには、確率の公式は使えません。
基本的に、確率の問題では同様に確からしいことが明記されていますが、サイコロの目の出方など、同様に確からしいことが自明な場合は特に記載がないこともあります。
問題を解くだけであればそこまで気にしなくても大丈夫ですが、「同様に確からしい」が何を意味しているのかは理解しておきましょう。
「無作為に」という言葉で「同様に確からしい」ことを表現することもあります。
確率の問題でたまに出てくるので覚えておきましょう。
排反
排反
\(2\) つ以上の事象が同時に起こらないこと。
例えば、サイコロを \(1\) 回投げる試行において、次の事象を考えます。
- 偶数の目が出る事象 \(A = \{2, 4, 6\}\)
- 奇数の目が出る事象 \(B = \{1, 3, 5\}\)
- \(3\) の倍数が出る事象 \(C = \{3, 6\}\)
偶数の目が出ることと奇数の目が出ることは同時に起こりえないので、「\(A\) と \(B\) は互いに排反である」といえます。
一方、事象 \(A\) と \(C\) では「\(6\) の目が出る」という事象がかぶっていて、同時に起こりえます。このとき、「\(A\) と \(C\) は互いに排反ではない」といいます。
確率の問題を解くときに、事象同士が排反か、排反でないかで、計算式の立て方が異なります。違いをよく理解しておきましょう。
独立
独立
別の試行同士がお互いにまったく影響を受けないこと。
例えばサイコロを \(2\) 回投げるとき、\(1\) 回目にどんな目が出たとしても、\(2\) 回目に出る目にはなんら影響を与えません。
このとき、\(1\) 回目の試行と \(2\) 回目の試行は「互いに独立である」といえます。
試行が独立かそうでないかによっても、確率の計算式の立て方は異なります。
試行を繰り返す問題では、独立か、独立でないかを必ずチェックするようにしましょう！
試行を繰り返す問題では、「反復試行の確率」の考え方を用います。
反復試行の確率・独立試行の確率とは？公式や見分け方
確率の足し算【公式】
\(2\) つの事象のどちらかが起こる確率を求める場合、それぞれの確率を足し算します。
ただし、事象同士が「排反」か「排反でない」かによって、足し算のしかたが異なります。
確率の加法定理
\(2\) つの事象が排反の場合、それぞれの確率をシンプルに足し算でき、これを「確率の加法定理」といいます。
事象 \(A, B\) が互いに排反のとき、次が成り立つ。
\begin{align}\color{red}{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}\end{align}
和事象の確率
一方、\(2\) つの事象が排反でない場合、\(2\) つの事象の一部が同時に起こりうるので、単なる足し算では求められません。
このようなときには、「和事象の確率」を用います。
事象 \(A, B\) が互いに排反でないとき、次が成り立つ。
\begin{align}\color{red}{P(A \cup B) = P(A) + P(B) − P(A \cap B)}\end{align}
複数の確率を足す問題には、次のキーワードが含まれていることがあります。
「～または～の確率を求めよ」
「または」があるときは、それらの事象が排反か排反でないかを判断して、確率の加法定理と和事象の確率を使い分ける必要があると覚えておきましょう！
確率の計算問題
最後に、ここまでの知識を使って確率の計算問題を何問か解いてみましょう。
計算問題①「じゃんけんであいこの確率」
A、B、C の \(3\) 人でじゃんけんを \(1\) 回するとき、あいことなる確率を求めよ。
あいこになるためには、次の \(2\) つの状況が考えられます。
- 全員が同じ手を出す場合
- 全員が異なる手を出す場合
この \(2\) つの事象は同時に起こりえない（互いに排反である）ので、確率の加法定理が使えますね。
\(3\) 人でじゃんけんを \(1\) 回するとき、起こりうるすべての事象を \(U\) とおく。
\(3\) 人それぞれにグー・チョキ・パーの \(3\) 通りの手の出し方があるため、
起こりうるすべての勝敗結果 \(n(U)\) は
\(n(U) = 3 \times 3 \times 3 = 27\)（通り）
\(3\) 人があいこになるのは、全員が同じ手を出す（事象 \(A\)）か、全員が異なる手を出す（事象 \(B\)）ときである。
全員が同じ手を出すのは、全員グー、全員チョキ、全員パーのときであるから、
\(n(A) = 3\)（通り）
全員が異なる手を出すのは、グー・チョキ・パー \(3\) つの並べ替えに等しいので、
\(n(B) = {}_3 \mathrm{P}_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)（通り）
それぞれの事象は互いに排反なので、求める確率は
\(\begin{align}P(A) + P(B) &= \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)} \\&= \displaystyle \frac{3}{27} + \frac{6}{27} \\&= \displaystyle \frac{9}{27} \\&= \displaystyle \frac{1}{3}\end{align}\)
（確率の加法定理）
答え： \(\displaystyle \frac{1}{3}\)
計算問題②「カードを並べる」
\(1\) ~ \(9\) の数字が書かれたカードから異なる \(3\) 枚のカードをとって並べ、\(3\) 桁の整数をつくるとき、次の確率を求めよ。
(1) 奇数になる確率
(2) \(4\) の倍数になる確率
(3) \(720\) よりも大きくなる確率
起こりうるすべての場合の数と、各問題の条件を満たす場合の数をていねいに調べたあと、それぞれの確率を求めましょう。
\(9\) 枚のカードから異なる \(3\) 枚のカードをとって並べるとき、起こりうるすべての事象を \(U\) とおくと、
\(n(U) = {}_9 \mathrm{P}_3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\)（通り）
(1)
注目する事象を \(A\)、求める確率を \(P(A)\) とおく。
\(3\) 桁の整数が奇数になるためには、一の位が奇数であればよい。
一の位の選び方は \(1, 3, 5, 7, 9\) の \(5\) 通り。
百の位と十の位に入る数字は、一の位で使わなかった \(8\) つの数字から \(2\) つを選んで並べればよいので、
\({}_8 \mathrm{P}_2 = 8 \cdot 7 = 56\)（通り）
よって、このときの場合の数 \(n(A)\) は
\(n(A) = 5 \times 56 = 280\)（通り）
したがって、求める確率は
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{280}{504} = \frac{5}{9}\)
答え： \(\displaystyle \frac{5}{9}\)
(2)
注目する事象を \(B\)、求める確率を \(P(B)\) とおく。
\(3\) 桁の整数が \(4\) の倍数になるためには、下 \(2\) 桁が \(4\) の倍数であればよい。
\(1\) ~ \(9\) の数字でつくれる \(2\) 桁の \(4\) の倍数は、
\(12\), \(16\), \(24\), \(28\), \(32\), \(36\), \(48\), \(52\), \(56\), \(64\), \(68\), \(72\), \(76\), \(84\), \(92\), \(96\)
の \(16\) 通り。
百の位に入る数字は、一の位と十の位で使わなかった \(7\) つの数字から \(1\) つを選ベばよいので、
\({}_7 \mathrm{P}_1 = 7\)（通り）
よって、このときの場合の数 \(n(B)\) は
\(n(B) = 16 \times 7 = 112\)（通り）
したがって、求める確率は
\(P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(U)} = \frac{112}{504} = \frac{2}{9}\)
答え： \(\displaystyle \frac{2}{9}\)
(3)
\(3\) 桁の整数が \(720\) よりも大きくなるのは、次のどちらかの場合である。
(i) 百の位の数字が \(7\) で、十の位が \(2\) 以上の場合
(ii) 百の位の数字が \(8\) 以上の場合
(i) となる事象を \(C\) とおく。
百の位の数字の選び方が \(7\) の \(1\) 通り、十の位の数字の選び方が \(2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 9\) の \(7\) 通り、一の位の数字の選び方が残った数字の \(7\) 通りであるから、
\(n(C) = 1 × 7 × 7 = 49\)（通り）
よって \(P(C) = \displaystyle \frac{n(C)}{n(U)} = \frac{49}{504}\)
(ii) となる事象を \(D\) とおく。
百の位の数字の選び方が \(8 , 9\) の \(2\) 通り、十の位と一の位の数字は残った \(8\) つの数字から \(2\) つを選んで並べればよいので、
\(n(D) = 2 \times {}_8 \mathrm{P}_2 = 2 \cdot 8 \cdot 7 = 112\)（通り）
よって \(P(D) = \displaystyle \frac{n(D)}{n(U)} = \frac{112}{504}\)
事象 \(C\) と事象 \(D\) は互いに排反であるから、求める確率は
\(\begin{align}P(C) + P(D) &= \displaystyle \frac{49}{504} + \frac{112}{504} \\&= \displaystyle \frac{161}{504} \\&= \displaystyle \frac{23}{72}\end{align}\)
（確率の加法定理）
答え： \(\displaystyle \frac{23}{72}\)
計算問題③「赤玉と白玉を取り出す」
袋の中に赤玉が \(3\) 個、白玉が \(4\) 個入っていて、この中から同時に \(3\) 個の玉を取り出す。
(1) 赤玉 \(2\) 個、白玉 \(1\) 個を取り出す確率を求めよ。
(2) 少なくとも \(1\) 個は赤玉を取り出す確率を求めよ。
同じ色の玉であれば取り出すときに区別する必要がないので、組み合わせの考え方が使えます。
また、(2) では「少なくとも」とあるので、余事象の確率が有効です。
起こりうるすべての事象を \(U\) とおく。
\(7\) 個の玉が入った袋から \(3\) 個の玉を取り出せばよいので、
\(n(U) = {}_7 \mathrm{C}_3 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\)（通り）
(1)
「赤玉 \(2\) 個、白玉 \(1\) 個を取り出す」という事象を \(A\) とおく。
赤玉は \(3\) 個から \(2\) 個、白玉は \(4\) 個から \(1\) 個をそれぞれ取り出せばよいので、
\(n(A) = {}_3 \mathrm{C}_2 \times {}_4 \mathrm{C}_1 = \displaystyle \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} \times \displaystyle \frac{4}{1} = 12\)（通り）
したがって、求める確率は
\(P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{12}{35}\)
答え： \(\displaystyle \frac{12}{35}\)
(2)
「少なくとも \(1\) 個は赤玉を取り出す」という事象を \(B\) とおく。
赤玉が \(1\) つも含まれない取り出し方 \(n(\overline{B})\) は
\(n(\overline{B}) = {}_4 \mathrm{C}_3 = {}_4 \mathrm{C}_1 = 4\)（通り）
余事象の確率より、求める確率 \(P(B)\) は
\(P(B) = 1 − \displaystyle \frac{n(\overline{B})}{n(U)} = 1 − \displaystyle \frac{4}{35} = \displaystyle \frac{31}{35}\)
答え： \(\displaystyle \frac{31}{35}\)
以上で問題も完了です！
確率に苦手意識を持つ人は多いですが、基本を押さえながら勉強していけば解き方が自然とわかってきます。
さまざまな問題を解いて、確率への理解を深めていきましょう！