位置ベクトルとは?公式(内分・外分・重心)や求め方、練習問題

この記事では、「位置ベクトル」の公式や求め方についてできるだけわかりやすく解説していきます。

内分点・外分点や重心の問題なども解説していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

位置ベクトルとは?

位置ベクトルとは、その名の通り「位置を表すベクトル」のことです。

「ベクトル」が矢印の向きと大きさを示すのに対し、「位置ベクトル」は点の位置(場所)を表します。

 

平面上で基準となる「始点(起点)」をとると(ここでは \(\mathrm{O}\) とする)、点 \(\mathrm{A}\) の位置はベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) によって表せます。

このとき、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) を「点 \(\mathrm{O}\) を始点とする点 \(\mathrm{A}\) の位置ベクトル」といいます。

一般的に、「\(\color{red}{\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}}\)」と小文字のベクトルで表記し、位置ベクトルが \(\vec{a}\) である点 \(\mathrm{A}\) を「\(\color{red}{\mathrm{A}(\vec{a})}\)」と表します。

ある点を、基準となる点(始点)に対する位置で表すことから「位置ベクトル」と呼ぶのですね。

 

位置ベクトルの公式

ここでは、位置ベクトルの重要な公式をまとめていきます。

どれもよく使うので、覚えるだけでなく使いこなせるようにしていきましょう。

【公式①】2 点を結ぶベクトルと位置ベクトル

始点以外の \(2\) 点を結ぶベクトルは、位置ベクトルを使って次のように表されます。

2 点を結ぶベクトルと位置ベクトルの公式

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) に対して、始点を点 \(\mathrm{O}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} − \vec{a}}\end{align}

始点 \(\mathrm{O}\) を通らないベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) は、「(後ろ)–(前)」で計算できると覚えておきましょう!

この公式は、次のような式変形で導かれます。

証明

 

\(\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{AB}} &= \overrightarrow{\mathrm{AO}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\ &= \overrightarrow{\mathrm{OB}} − \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\ &= \color{red}{\vec{b} − \vec{a}} \end{align}\)

 

(証明終わり)

 

【公式②】内分点の位置ベクトル

次は、内分点の位置ベクトルです。

内分点の位置ベクトルの公式

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) に対して、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトル \(\vec{p}\) は

\begin{align}\color{red}{\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}}\end{align}

この公式は、次のような式変形で導かれます。

証明

 

線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に内分する点を \(\mathrm{P}\) とすると

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m + n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)

 

\(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{P}(\vec{p})\) より、

\(\displaystyle \vec{p} − \vec{a} = \frac{m}{m + n} (\vec{b} − \vec{a})\)

 

\(\displaystyle \vec{p} = \frac{m}{m + n} \vec{b} − \frac{m}{m + n} \vec{a} + \vec{a}\)

 

\(\displaystyle \vec{p} = \frac{n}{m + n} \vec{a} + \frac{m}{m + n} \vec{b}\)

 

よって

\(\color{red}{\displaystyle \vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}}\)

 

(証明終わり)

 

【公式③】外分点の位置ベクトル

続いて、外分点の位置ベクトルです。

外分点の位置ベクトルの公式

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) に対して、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の位置ベクトル \(\vec{q}\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{q} = \frac{− n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}}\end{align}

外分点の位置ベクトルは「\(m\) と \(n\) のうち、小さい方の符号をマイナスにして内分点の公式を使う」と覚えておくと便利です。

そうすれば、わざわざ外分点の公式を暗記する必要がありません。

詳しくは、「位置ベクトルの求め方【例題】」で解説します!

ちなみに、外分点の公式も位置ベクトルを使って簡単に求められます。

証明

 

線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に外分する点を \(\mathrm{Q}\) とする。

 

(i) \(m > n\) のとき

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \frac{m}{m − n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)

 

\(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{Q}(\vec{q})\) より、

\(\displaystyle \vec{q} − \vec{a} = \frac{m}{m − n} (\vec{b} − \vec{a})\)

 

\(\displaystyle \vec{q} = \frac{m}{m − n} \vec{b} − \frac{m}{m − n} \vec{a} + \vec{a}\)

 

\(\displaystyle \vec{q} = −\frac{n}{m − n} \vec{a} + \frac{m}{m − n} \vec{b}\)

 

よって

\(\displaystyle \vec{q} = \frac{−n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}\)

 

 

(ii) \(m < n\) のとき

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \displaystyle \frac{m}{n − m} \vec{\mathrm{BA}} = \frac{m}{m − n} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)

 

よって (i) 同様、

\(\displaystyle \vec{q} = \frac{−n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}\)

と求められる。

 

したがって、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) は

\(\color{red}{\displaystyle \vec{q} = \frac{−n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}}\)

 

(証明終わり)

\(m > n\) の場合も \(m < n\) の場合も、外分点の求め方は共通ということですね。

 

【公式④】三角形の重心と位置ベクトル

最後は、重心の位置ベクトルです。

三角形の重心と位置ベクトルの公式

\(3\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) を頂点とする \(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}\end{align}

\(3\) 点の位置ベクトルの真ん中だから \(3\) 等分!と考えると、覚えやすい公式ですね。

この公式は、重心が中線を \(\bf{2 : 1}\) に内分する性質を利用すると導けます。

証明

 

線分 \(\mathrm{BC}\) の中点を \(\mathrm{M}\) とすると、

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}\) …①

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) は中線 \(\mathrm{AM}\) を \(2 : 1\) に内分する点であるから

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{2 + 1}\)

 

①を代入して

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}} + (\overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{OC}})}{3}\)

 

\(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\), \(\mathrm{G}(\vec{g})\) より、

\(\color{red}{\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}}\)

 

(証明終わり)

 

位置ベクトルの求め方【例題】

それでは、例題を通して位置ベクトルの求め方を学んでいきましょう。

例題

\(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) を結ぶ線分 \(\mathrm{AB}\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を次の比に分ける点の位置ベクトルをそれぞれ \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) を使って表せ。

(1) \(3 : 1\) に内分する点 \(\mathrm{P}\)

(2) \(1 : 2\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\)

 

(1) では、「内分」とあるので内分点の公式に当てはめます。

(1) の解答

 

点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトルを \(\vec{p}\) とおくと、

\(\vec{p} = \displaystyle \frac{1\vec{a} + 3\vec{b}}{3 + 1} = \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}\)

 

答え: \(\color{red}{\vec{p} = \displaystyle \frac{\vec{a} + 3\vec{b}}{4}}\)

 

続いて、(2) です。

外分点の場合は、「小さい方の数字をマイナスにして、内分点の公式に代入する」と考えると楽です。

つまり、「\(1 : 2\) に外分」を頭の中で「\((−1) : 2\) に内分」に変換して、内分点の公式に代入してみましょう。

(2) の解答

 

点 \(\mathrm{Q}\) の位置ベクトルを \(\vec{q}\) とおくと、

\(\vec{q} = \displaystyle \frac{2\vec{a} + (−1)\vec{b}}{(−1) + 2} = 2\vec{a} − \vec{b}\)

 

答え: \(\color{red}{\vec{q} = 2\vec{a} − \vec{b}}\)

Tips

ちなみに、大きい方の数字をマイナスにして内分点の公式に代入しても問題なく外分点が求められます。

ただし、そうすると分母がマイナスになり、符号を入れ替える手間が増えてしまうので、「小さい方をマイナス!」と覚えておきましょう。

 

位置ベクトルの練習問題

次は、もう少し実践的な問題をやってみましょう!

練習問題①「重心と頂点を結ぶベクトルの等式を示す」

練習問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心を \(\mathrm{G}\) とするとき、等式 \(\overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} = \vec{0}\) を示せ。

 

重心の位置ベクトルの公式と、\(\overrightarrow{\mathrm{XY}} = \vec{y} − \vec{x}\) を使って計算します。

証明

 

\(3\) 点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) の位置ベクトルを \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) とおくと、重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\(\displaystyle \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\)

 

このとき、

  • \(\overrightarrow{\mathrm{GA}} = \vec{a} − \vec{g} = \displaystyle \frac{2\vec{a} − \vec{b} − \vec{c}}{3}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{GB}} = \vec{b} − \vec{g} = \displaystyle \frac{−\vec{a} + 2\vec{b} − \vec{c}}{3}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{GC}} = \vec{c} − \vec{g} = \displaystyle \frac{−\vec{a} − \vec{b} + 2\vec{c}}{3}\)

であるから、

等式の左辺は

\(\overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}}\)

\(\displaystyle = \frac{2\vec{a} − \vec{b} − \vec{c}}{3} + \frac{−\vec{a} + 2\vec{b} − \vec{c}}{3} + \frac{−\vec{a} − \vec{b} + 2\vec{c}}{3}\)

\(= \vec{0}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

となり、示すべき等式の右辺が導かれた。

 

よって、 \(\overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} = \vec{0}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

始点は \(\mathrm{O}\) とすることが多いものの、別の点を始点に選んでもよいです。

この問題では、始点を \(\mathrm{G}\) とするとより簡単に証明できます。

別解

 

重心 \(\mathrm{G}\) を始点とする。

重心の位置ベクトルの公式より

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{GG}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}}}{3}\)

 

左辺は \(\vec{0}\) であるから、両辺を \(3\) 倍して

\(\overrightarrow{\mathrm{GA}} + \overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} = \vec{0}\)

が得られる。

 

(証明終わり)

 

練習問題②「交点の位置ベクトルを求める」

練習問題②

\(\triangle \mathrm{OAB}\) において、辺 \(\mathrm{OA}\) を \(1 : 3\) に内分する点を \(\mathrm{C}\)、辺 \(\mathrm{OB}\) を \(2 : 3\) に内分する点を \(\mathrm{D}\)、線分 \(\mathrm{AD}\) と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{P}\) とする。

このとき、\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}\) を使って表せ。

 

交点の位置ベクトルの求め方はいくつかあります。

ここでは、次の \(3\) つの方法による解答を示します。

Tips

交点の位置ベクトルの解法

  1. 交点の位置ベクトルを \(2\) 通りで表し、係数を比較
  2. 直線のベクトル方程式を利用
  3. メネラウスの定理を利用
解答 1

 

\(\mathrm{AP} : \mathrm{PD} = s : (1 − s)\)、\(\mathrm{BP} : \mathrm{PC} = t : (1 − t)\) とおくと

 

\(\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= (1 − s)\overrightarrow{\mathrm{OA}} + s\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\&= (1 − s)\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \displaystyle \frac{2}{5}s\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\&= (1 − s)\vec{a} + \displaystyle \frac{2}{5}s\vec{b} \ \cdots ①\end{align}\)

 

\(\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= t\overrightarrow{\mathrm{OC}} + (1 − t)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\&= \displaystyle \frac{1}{4}t\overrightarrow{\mathrm{OA}} + (1 − t)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\&= \frac{1}{4}t\vec{a} + (1 − t)\vec{b} \ \cdots ②\end{align}\)

 

\(\vec{a} \neq 0\), \(\vec{b} \neq 0\), \(\vec{a} \neq \vec{b}\) より

①、②の係数を比較して

\(\left\{\begin{array}{l} 1 − s = \displaystyle \frac{1}{4}t\\ \displaystyle \frac{2}{5}s = 1 − t\end{array}\right.\)

 

これを解くと

\(s = \displaystyle \frac{5}{6}\), \(t = \displaystyle \frac{2}{3}\)

 

よって

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \displaystyle \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\)

 

答え: \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \displaystyle \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\)

解答 2

 

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = x\vec{\mathrm{OA}} + y\vec{\mathrm{OB}}\)

とおく。

 

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{2}{5}\vec{\mathrm{OB}}\) より 

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = x\vec{\mathrm{OA}} + \frac{5}{2}y\vec{\mathrm{OD}}\)

\(\mathrm{P}\) は直線 \(\mathrm{AD}\) 上の点であるから

\(\displaystyle x + \frac{5}{2}y = 1 \ \cdots ①\)

 

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \frac{1}{4}\vec{\mathrm{OA}}\) より 

\(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = 4x\vec{\mathrm{OC}} + y\vec{\mathrm{OB}}\)

\(\mathrm{P}\) は直線 \(\mathrm{BC}\) 上の点であるから

\(4x + y = 1 \ \cdots ②\)

 

①、②より

\(x = \displaystyle \frac{1}{6}\), \(y = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

よって

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \displaystyle \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\)

 

答え: \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \displaystyle \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\)

解答 3

 

メネラウスの定理より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CA}} \cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}} \cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BO}} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}} \cdot \frac{3}{5} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}} = 3 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{1}\) より

\(\mathrm{AP} : \mathrm{PD} = 5 : 1\)

 

よって

\(\begin{align}\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \frac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\&= \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{5} \vec{b}\\&= \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \ \left(= \displaystyle \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{6}\right)\)

補足

「直線のベクトル方程式」「メネラウスの定理」については以下の記事で説明しています。

ベクトル方程式とは?図形別の公式(直線・円)や問題の解き方 メネラウスの定理とは?証明や覚え方、問題の解き方

 

練習問題③「基準の位置ベクトルで表す」

練習問題③

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、辺 \(\mathrm{AB}\) を \(1 : 2\) に内分する点を \(\mathrm{P}\)、辺 \(\mathrm{BC}\) を \(2 : 1\) に外分する点を \(\mathrm{Q}\) とする。

このとき、\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\) を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}\) を使って表せ。

 

図形に関するベクトルの問題を解くときは、「始点」と「\(\bf{2}\) 本のベクトル」を意識しましょう。

この問題では「\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}\) で表せ」とあることから、始点は点 \(\mathrm{A}\) で、注目する \(2\) 本のベクトルは \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) にするとよいですね。

解答

 

 

\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \overrightarrow{\mathrm{AQ}} − \overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

 

点 \(\mathrm{Q}\) は辺 \(\mathrm{BC}\) を \(2 : 1\) に外分する点なので、

\(\overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \displaystyle \frac{(−1)\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2 + (−1)} = −\vec{b} + 2\vec{c}\)

 

点 \(\mathrm{P}\) は辺 \(\mathrm{AB}\) を \(1 : 2\) に内分する点なので、

\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \displaystyle \frac{2\overrightarrow{\mathrm{AA}} + \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{1 + 2} = \frac{\vec{b}}{3}\)

 

したがって、

\(\begin{align} \overrightarrow{\mathrm{PQ}} &= \overrightarrow{\mathrm{AQ}} − \overrightarrow{\mathrm{AP}} \\ &= −\vec{b} + 2\vec{c} − \frac{\vec{b}}{3} \\ &= −\frac{4\vec{b}}{3} + 2\vec{c} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = −\frac{4\vec{b}}{3} + 2\vec{c}}\)

 

練習問題④「等式を満たす点 P の位置を調べる」

練習問題④

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と点 \(\mathrm{P}\) が \(\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}\) を満たしている。

このとき、点 \(\mathrm{P}\) はどのような位置にあるか説明せよ。

 

「始点」と「\(2\) 本のベクトル」を自分で決めましょう。

三角形の場合は頂点のどれかを始点とすると楽です。

ここでは始点を \(\mathrm{A}\) とし、\(2\) 本のベクトルを \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) として計算していきます。

解答

 

点 \(\mathrm{A}\) を始点とする。

与式の左辺を変形すると、

\(\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{PC}}\)

\(= −\overrightarrow{\mathrm{AP}} + 2(\overrightarrow{\mathrm{AB}} − \overrightarrow{\mathrm{AP}}) + 3(\overrightarrow{\mathrm{AC}} − \overrightarrow{\mathrm{AP}})\)

\(= −6\overrightarrow{\mathrm{AP}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

 

これが \(\vec{0}\) であるから

\(−6\overrightarrow{\mathrm{AP}} + 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{0}\)

\(6\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{6}\)

よって

\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{5}\)

と表せる。

 

ここで、\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \frac{2\overrightarrow{\mathrm{AB}} + 3\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{5}\) とおくと、点 \(\mathrm{D}\) は辺 \(\mathrm{BC}\) を \(3 : 2\) に内分する点である。

また、\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{5}{6} \overrightarrow{\mathrm{AD}}\) なので、点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AD}\) を \(5 : 1\) に内分する点である。

 

答え: 

辺 \(\mathrm{BC}\) を \(3 : 2\) に内分する点を \(\mathrm{D}\) とするとき、点 \(\mathrm{P}\) は線分 \(\mathrm{AD}\) を \(5 : 1\) に内分する点

以上で位置ベクトルの練習問題も終わりです!

 

位置ベクトルのコツは「始点」と「\(2\) 本のベクトル」を意識することです。

位置ベクトルの考え方をマスターし、幅広い問題に対処できるようにしましょう!

補足

ベクトルに関するほかの公式や問題について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてくださいね!

ベクトルを総まとめ!意味や各種公式【重要記事一覧】

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です