ベクトルを総まとめ!意味や各種公式【重要記事一覧】

ベクトルの意味や、様々な公式(内積・外積・面積・成分など)をまとめていきます。

詳細記事へのリンクも載せていますので、ぜひ勉強の参考にしてくださいね!

 

ベクトルとは?

ベクトルとは、向きと大きさをもった量のことです。

例えば、点 \(\mathrm{A}\) を始点とし、点 \(\mathrm{B}\) を終点とするベクトルは「\(\color{red}{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}\)」と表します。

ベクトルは向きをもつので、長さが同じでも向きが違えば別のベクトルです。
(\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) は別のベクトル)

一方で、ベクトルに「位置」は関係がありません。

「向き」と「大きさ」が等しければ、位置が違っても同一のベクトルであると言えます。

また、ベクトルには \(2\) 通りの表記方法があります。

  • 始点と終点を結んだ表記
    \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) など
  • 一文字の表記
    \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) など

以降、ベクトルに関する公式を一覧でまとめていきます。

 

ベクトルの計算法則【公式】

ここでは、ベクトルのさまざまな計算法則をまとめていきます。

単位ベクトル

単位ベクトル

大きさが \(1\) であるベクトルを「単位ベクトル」という。

\(\vec{a}\) と同じ向きの単位ベクトルは

\begin{align}\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\end{align}

 

ベクトルの相等

ベクトルの相等

\(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の向きおよび大きさが等しいとき、\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は等しい。

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}\end{align}

 

ベクトルの加法・減法

ベクトルの加法・減法

ベクトルは、始点をそろえれば足し算、引き算ができる。

 

また、一般に

  • \(\overrightarrow{\mathrm{A□}} + \overrightarrow{\mathrm{□B}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
  • \(\overrightarrow{\mathrm{□A}} − \overrightarrow{\mathrm{□B}} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}\)

 

ベクトルの交換法則と結合法則

ベクトルの交換法則と結合法則

ベクトルには交換法則、結合法則が成り立つ。

  • 交換法則
    \begin{align}\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\end{align}
  • 結合法則
    \begin{align}(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\end{align}

 

逆ベクトルと零ベクトル

逆ベクトルと零ベクトル
  • 逆ベクトル
    \(\vec{a}\) の逆ベクトルは \(−\vec{a}\)
    \begin{align}\vec{a} + (−\vec{a}) = \vec{0}\end{align}
  • 零ベクトル
    \(\vec{0}\) を零ベクトルと呼ぶ。
    \begin{align}\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\end{align}

 

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍

\(k, l\) を実数とするとき、\(k \vec{a}\) はベクトルの実数倍を表す。

  • \(k(l \vec{a}) = (kl)\vec{a}\)
  • \((k + l)\vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}\)
  • \(k(\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}\)

 

ベクトルの平行条件

ベクトルの平行条件

\(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(\vec{b} \neq \vec{0}\) のとき、

\(\vec{a} \ // \ \vec{b}\) \(\iff  \vec{a} = k \vec{b}\) となる実数 \(k\) がある

 

ベクトルの分解

ベクトルの分解

\(\vec{0}\) でなく、かつ平行でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) を用いて、任意のベクトル \(\vec{p}\) をただ \(1\) 通りに表すことができる。(ただし、\(s, t\) は実数)

\begin{align}\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}\end{align}

 

また、\(k, l, m, n\) を実数として、以下が成り立つ。

\begin{align}k\vec{a} + l\vec{b} = m\vec{a} + n\vec{b}  \iff  k = m, l = n\end{align}

特に

\begin{align}k\vec{a} + l\vec{b} =\vec{0}  \iff  k = l = 0\end{align}

 

ベクトルの成分【公式】

ベクトルは、直行座標を使って \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) のように表すことができ、これを「ベクトルの成分表示」といいます。

ベクトルの成分表示

ベクトルの成分表示

原点を \(\mathrm{O}\) とする座標平面において、\(\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) となる点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2)\) をとると、\(\vec{a}\) は次のように表される。

\begin{align}\vec{a} = (a_1, a_2)\end{align}

\(a_1\) を \(x\) 成分、\(a_2\) を \(y\) 成分という。

 

成分によるベクトルの相等

ベクトルの相等

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) について

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}  \iff  a_1 = b_1, a_2 = b_2\end{align}

特に、

\begin{align}\vec{a} = \vec{0}  \iff  a_1 = 0, a_2 = 0\end{align}

 

成分によるベクトルの演算

成分によるベクトルの演算

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)、\(k, l\) を実数とするとき、


  • \begin{align}\vec{a} + \vec{b} &= (a_1, a_2) + (b_1, b_2) \\&= (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\end{align}

  • \begin{align}\vec{a} − \vec{b} &= (a_1, a_2) − (b_1, b_2) \\&= (a_1 − b_1, a_2 − b_2)\end{align}
  • 実数倍
    \begin{align}k\vec{a} = k(a_1, a_2) = (k a_1, k a_2)\end{align}
    \begin{align}k\vec{a} + l\vec{b}&= k(a_1, a_2) + l(b_1, b_2) \\&= (k a_1 + l b_1, k a_2 + l b_2)\end{align}

 

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさ

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\) のとき、\(\vec{a}\) の大きさは

\begin{align}|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\end{align}

また、\(2\) 点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2)\), \(\mathrm{B}(b_1, b_2)\) について

\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1 − a_1, b_2 − a_2)\end{align}

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の大きさは

\begin{align}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 − a_1)^2 + (b_2 − a_2)^2}\end{align}

 

ベクトルの内積【公式】

ベクトルの内積については、以下の記事で詳しく説明しています。

ベクトルの内積とは?意味・公式や求め方、計算問題

内積の定義

内積の定義

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) とすると、\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の内積は

\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\end{align}

なお、\(\vec{a} = \vec{0}\) または \(\vec{b} = \vec{0}\) のときは

\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\end{align}

 

内積と成分

内積と成分

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) のとき

\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\end{align}

 

ベクトルのなす角

ベクトルのなす角

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) のなす角を \(\theta\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) とすると

\begin{align} \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\end{align}

 

内積と平行条件・垂直条件

ベクトルの平行条件および垂直条件については、以下の記事で詳しく説明しています。

ベクトルの平行条件、垂直条件とは?内積公式や証明・計算問題
内積と平行条件・垂直条件

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) について、

  • 平行条件
    \begin{align}\vec{a} \ // \ \vec{b}  &\iff  \vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}||\vec{b}|  \\&\iff  a_1b_2 − a_2b_1 = 0\end{align}
  • 垂直条件
    \begin{align}\vec{a} \perp \vec{b}  &\iff  \vec{a} \cdot \vec{b} = 0  \\&\iff  a_1b_1 + a_2b_2 = 0\end{align}

 

内積の計算法則

内積の計算法則

\(k\) を実数とする。

  • 交換法則
    \begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\end{align}
  • 分配法則
    \begin{align}(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\\ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\end{align}
  • 実数倍
    \begin{align}(k\vec{a}) \cdot \vec{b} =\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\end{align}

 

ベクトルの大きさと内積

ベクトルの大きさと内積
  • \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)
  • \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)
  • \(−|\vec{a}||\vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

 

ベクトルと三角形の面積【公式】

ベクトルと三角形の面積については、以下の記事で詳しく説明しています。

ベクトルによる三角形の面積の求め方!公式や証明、計算問題
ベクトルと三角形の面積

\(\triangle \mathrm{OAB}\) において、\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b} = (b_1, b_2)\) とすると、\(\triangle \mathrm{OAB}\) の面積 \(S\) は

  • ベクトル表示
    \begin{align} S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 − (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\end{align}
  • 成分表示
    \begin{align} S = \frac{1}{2} |a_1 b_2 − a_2 b_1| \end{align}

 

位置ベクトル【公式】

位置ベクトルについては、以下の記事で詳しく説明しています。

位置ベクトルとは?公式(内分・外分・重心)や求め方、練習問題

2 点を結ぶベクトルの位置ベクトル

2 点を結ぶベクトルの位置ベクトル

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) に対して、始点を点 \(\mathrm{O}\) とすると、

\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} − \vec{a}\end{align}

 

分点の位置ベクトル

分点の位置ベクトル

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) について、

  • 内分点
    線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトル \(\vec{p}\) は
    \begin{align}\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}\end{align}
  • 外分点
    線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の位置ベクトル \(\vec{q}\) は
    \begin{align}\vec{q} = \frac{−n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}\end{align}

 

三角形の重心の位置ベクトル

三角形の重心の位置ベクトル

\(3\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) を頂点とする \(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\begin{align}\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\end{align}

 

空間ベクトル【公式】

空間ベクトルについては、以下の記事で詳しく説明しています。

空間ベクトルとは?内積・面積などの公式や問題を解くコツ

ベクトルの相等

ベクトルの相等

\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) について

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}  \iff  a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3\end{align}

 

ベクトルの成分と大きさ

ベクトルの成分と大きさ

\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) のとき、\(\vec{a}\) の大きさは

\begin{align}|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\end{align}

また、\(2\) 点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2, a_3)\), \(\mathrm{B}(b_1, b_2, b_3)\) について

\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1 − a_1, b_2 − a_2, b_3 − a_3)\end{align}

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の大きさは

\begin{align}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 − a_1)^2 + (b_2 − a_2)^2 + (b_3 − a_3)^2}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

ベクトルの分解

ベクトルの分解

同じ平面上にない \(4\) 点 \(\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) に対して \(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}\) とすると、任意のベクトル \(\vec{p}\) をただ \(1\) 通りに表すことができる。

\begin{align}\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}\end{align}

(\(s, t, u\) は実数)

 

内積と成分

内積と成分

\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) のとき

\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3\end{align}

 

ベクトルの外積【発展】

ベクトルの外積

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) がなす角を \(\theta\) とするとき、\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) に垂直で、かつ大きさが \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta\) のベクトルを \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の「外積」という。

 

\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の外積のうち、\(\vec{a}\) から \(\vec{b}\) の向きへ右ねじを回転したときにねじの進む向きのベクトルは以下のように表す。

\begin{align}\vec{a} \times \vec{b}\end{align}

(\(\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}\))

 

 

また、\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) のとき

\begin{align}\vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 − b_2 a_3, a_3 b_1 − b_3 a_1, a_1 b_2 − b_1 a_2)\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

 

ベクトル方程式【公式】

ベクトル方程式については、以下の記事で詳しく説明しています。

ベクトル方程式とは?図形別の公式(直線・円)や問題の解き方

直線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式

直線上の任意の点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトルを \(\vec{p}\) とし、\(s\), \(t\) を実数の変数とする。

  • 異なる \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) を通る直線

\(\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\)
または
\(\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1)\)

  • 定点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、ベクトル \(\vec{d}\) に平行な直線

\(\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}\)
(ただし、\(\vec{d} \neq \vec{0}\))

  • 定点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、ベクトル \(\vec{n}\) に垂直な直線

\(\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0\)
(ただし、\(\vec{n}\) は直線の法線ベクトル)

補足

「法線」とは、ある直線に垂直な直線のことです。

詳しくは次の記事を参考にしてください。

法線、法線ベクトルとは?方程式、2 直線のなす角の求め方

 

円のベクトル方程式

円のベクトル方程式

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{p}\) とし、\(\mathrm{P}\) は円周上の任意の点とする。

  • 中心 \(\mathrm{C}\)、半径 \(r\) の円

\(|\vec{p} − \vec{c}| = r\)
\((\vec{p} − \vec{c}) \cdot (\vec{p} − \vec{c}) = r^2\)

  • 線分 \(\mathrm{AB}\) を直径とする円
    \begin{align}(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\end{align}

 

球面のベクトル方程式

球面のベクトル方程式

球面上の任意の点を \(\mathrm{P}(\vec{p})\) とすると、中心 \(\mathrm{C}(\vec{c})\)、半径 \(r\) の球面のベクトル方程式は

\begin{align}|\vec{p} − \vec{c}| = r\end{align}

\begin{align}(\vec{p} − \vec{c}) \cdot (\vec{p} − \vec{c}) = r^2\end{align}

 

平面のベクトル方程式

平面のベクトル方程式

点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、\(\vec{n} \,(\neq \vec{0})\) に垂直な平面のベクトル方程式は

\begin{align}\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0\end{align}

 

共線条件

共線条件
  • 点 \(\mathrm{C}\) が直線 \(\mathrm{AB}\) 上にある
    \(\iff \overrightarrow{\mathrm{AC}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) となる実数 \(k\) がある
  • 点 \(\mathrm{P}\) が直線 \(\mathrm{AB}\) 上にある
    \(\iff \overrightarrow{\mathrm{OP}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) となる実数 \(s, t\) \((s + t = 1)\) がある

 

平面上の点の存在範囲

平面上の点の存在範囲

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{p}\) とする。

(ただし、\(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(\vec{b} \neq \vec{0}\), \(\vec{a} \neq \vec{b}\)、\(s\) と \(t\) は実数の変数とする。)

\(\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}\) について、\(s\), \(t\) に条件があると、\(\vec{p}\) の終点 \(\mathrm{P}\) の存在範囲は次のようになる。

  • 直線 \(\mathrm{AB}\)
    \begin{align}s + t = 1\end{align}
  • 線分 \(\mathrm{AB}\)
    \begin{align}s + t = 1, s \geq 0, t \geq 0\end{align}
  • \(\triangle \mathrm{OAB}\) の周および内部
    \begin{align}s + t \leq 1, s \geq 0, t \geq 0\end{align}
  • 平行四辺形 \(\mathrm{OACB}\) の周および内部
    \begin{align}0 \leq s \leq 1, 0 \leq t \leq 1\end{align}
補足

ベクトル方程式で扱う \(s, t\) などの実数の変数は、「媒介変数」と呼ばれます。

詳しくは、次の記事を参考にしてください。

媒介変数表示とは?グラフや計算(微分積分・ベクトル)

以上がベクトルの公式一覧でした!

 

詳しい内容については、それぞれの関連記事を確認してみてくださいね。

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