ベクトルを総まとめ！高校で習う公式一覧

• ベクトルの表記方法
  始点と終点を結ぶ：\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) など
  一文字で表す：\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) など
• ベクトルの大きさの表記方法
  ベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の大きさ：\(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\)
  ベクトル \(\vec{a}\) の大きさ： \(|\vec{a}|\)

• \(\overrightarrow{\mathrm{A□}} + \overrightarrow{\mathrm{□B}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
• \(\overrightarrow{\mathrm{□A}} − \overrightarrow{\mathrm{□B}} = \overrightarrow{\mathrm{BA}}\)
• \(\overrightarrow{\mathrm{BA}} = − \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)
• \(\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \vec{0}\)

• 交換法則
  \begin{align}\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\end{align}
• 結合法則
  \begin{align}(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\end{align}
• 逆ベクトルの性質
  \begin{align}\vec{a} + (−\vec{a}) = \vec{0}\end{align}
• 零ベクトルの性質
  \begin{align}\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\end{align}
• 実数倍
  \(k, l\) を実数とするとき
  \begin{align}k(l \vec{a}) &= (kl)\vec{a} \\ (k + l)\vec{a} &= k \vec{a} + l \vec{a} \\ k(\vec{a} + \vec{b}) &= k \vec{a} + k \vec{b}\end{align}

• 単位ベクトル
  大きさが \(1\) であるベクトル。
  \(\vec{a}\) と同じ向きの単位ベクトルは \(\begin{align}\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\end{align}\)
• 逆ベクトル
  あるベクトルと大きさが等しく、向きが反対であるベクトル。
  \(\vec{a}\) の逆ベクトルは \(−\vec{a}\)
• 零ベクトル
  大きさが \(0\) のベクトル（始点と終点が一致するベクトル）。
  \(\overrightarrow{\mathrm{AA}} = \vec{0}\)

原点を \(\mathrm{O}\) とする座標平面において、\(\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) となる点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2)\) をとると、\(\vec{a}\) は次のように表せる。

\begin{align}\vec{a} = (a_1, a_2)\end{align}

このとき、\(a_1\) を \(x\) 成分、\(a_2\) を \(y\) 成分という。

\(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の向きおよび大きさが等しいとき、\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は等しい。

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}\end{align}

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) のとき、

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}  \iff  a_1 = b_1, a_2 = b_2\end{align}

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\)、\(k, l\) を実数とするとき、

• 和
  \begin{align}\vec{a} + \vec{b} &= (a_1, a_2) + (b_1, b_2) \\&= (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\end{align}
• 差
  \begin{align}\vec{a} − \vec{b} &= (a_1, a_2) − (b_1, b_2) \\&= (a_1 − b_1, a_2 − b_2)\end{align}
• 零ベクトル
  \begin{align}\vec{a} = \vec{0}  \iff  a_1 = 0, a_2 = 0\end{align}
• 実数倍
  \begin{align}k\vec{a} &= k(a_1, a_2) = (k a_1, k a_2) \\\\ k\vec{a} + l\vec{b}&= k(a_1, a_2) + l(b_1, b_2) \\&= (k a_1 + l b_1, k a_2 + l b_2)\end{align}

\(\vec{a} = (a_1, a_2)\) のとき、\(\vec{a}\) の大きさは

\begin{align}|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\end{align}

\(2\) 点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2)\), \(\mathrm{B}(b_1, b_2)\) について

\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1 − a_1, b_2 − a_2)\end{align}

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の大きさは

\begin{align}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 − a_1)^2 + (b_2 − a_2)^2}\end{align}

\(\vec{0}\) でなく、かつ平行でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) を用いて、任意のベクトル \(\vec{p}\) をただ \(1\) 通りに表すことができる。（ただし、\(s, t\) は実数）

\begin{align}\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}\end{align}

また、\(k, l, m, n\) を実数として、以下が成り立つ。

\begin{align}k\vec{a} + l\vec{b} = m\vec{a} + n\vec{b}  \iff  k = m, l = n\end{align}

特に

\begin{align}k\vec{a} + l\vec{b} =\vec{0}  \iff  k = l = 0\end{align}

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) のなす角を \(\theta\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) とする。

1. 内積のベクトル表示（定義）
   \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) を次のように定める。
   \begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\end{align}
2. 内積の成分表示
   \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) のとき
   \begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\end{align}
3. ベクトルのなす角
   \begin{align} \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\end{align}

性質① 内積の計算法則

• 交換法則
  \(\begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\end{align}\)
• 分配法則
  \(\begin{align}(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\\ \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\end{align}\)
• 実数倍
  \(k\) を実数とすると、\(\begin{align}(k\vec{a}) \cdot \vec{b} =\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\end{align}\)

性質② ベクトルの大きさと内積

• \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)
• \(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)
• \(−|\vec{a}||\vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}|\)

性質③ 平行・垂直なベクトルの内積

\(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(\vec{b} \neq \vec{0}\) のとき、

• 平行なベクトルの内積
  \(\begin{align}\vec{a} \ // \ \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}||\vec{b}|\end{align}\)
• 垂直なベクトルの内積
  \(\begin{align}\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\end{align}\)

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2)\) について、

平行条件

\begin{align}\vec{a} \ // \ \vec{b}  &\iff  \vec{a} = k \vec{b} \ \text{となる実数} \ k \ \text{がある} \\&\iff  a_1b_2 − a_2b_1 = 0\end{align}

垂直条件

\begin{align}\vec{a} \perp \vec{b}  &\iff  \vec{a} \cdot \vec{b} = 0  \\&\iff  a_1b_1 + a_2b_2 = 0\end{align}

共点条件（複数の点が一致する条件）

• \(3\) 点 \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\) が一致する \(\iff \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \overrightarrow{\mathrm{OR}}\)

共線条件（\(3\) 点が一直線上にある条件）

• \(3\) 点 \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\), \(\mathrm{C}\) が一直線上にある \(\iff \overrightarrow{\mathrm{AC}} = k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) となる実数 \(k\) がある
• 点 \(\mathrm{P}\) が直線 \(\mathrm{AB}\) 上にある \(\iff \overrightarrow{\mathrm{OP}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) となる実数 \(s, t\) \((s + t = 1)\) がある

共面条件（\(4\) 点が同一平面上にある条件）

• 点 \(\mathrm{P}(\vec{p})\) が、同一直線上にない \(3\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) の定める平面上にある
  \(\iff \overrightarrow{\mathrm{AP}} = s\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) となる実数 \(s, t\) がある
  \(\iff \vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}\) となる実数 \(s, t, u\) で \(s + t + u = 1\) を満たすものがある

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a} = (a_1, a_2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b} = (b_1, b_2)\) のとき、\(\triangle \mathrm{OAB}\) の面積 \(S\) は

• ベクトル表示
  \begin{align} S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 − (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\end{align}
• 成分表示
  \begin{align} S = \frac{1}{2} |a_1 b_2 − a_2 b_1| \end{align}

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) に対して、始点を点 \(\mathrm{O}\) とすると、

\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} − \vec{a}\end{align}

平面上の \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) について、

• 内分点
  線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトル \(\vec{p}\) は
  \begin{align}\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}\end{align}
• 外分点
  線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m : n\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の位置ベクトル \(\vec{q}\) は
  \begin{align}\vec{q} = \frac{−n \vec{a} + m \vec{b}}{m − n}\end{align}

\(3\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\), \(\mathrm{C}(\vec{c})\) を頂点とする \(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の位置ベクトル \(\vec{g}\) は

\begin{align}\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\end{align}

直線上の任意の点 \(\mathrm{P}\) の位置ベクトルを \(\vec{p}\) とし、\(s\), \(t\) を実数の変数とする。

• 異なる \(2\) 点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\), \(\mathrm{B}(\vec{b})\) を通る直線

\(\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\)
または
\(\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}　(s + t = 1)\)

• 定点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、ベクトル \(\vec{d}\) に平行な直線

\(\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}\)
（ただし、\(\vec{d} \neq \vec{0}\)）

• 定点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、ベクトル \(\vec{n}\) に垂直な直線

\(\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0\)
（ただし、\(\vec{n}\) は直線の法線ベクトル）

「法線」とは、ある直線に垂直な直線のことです。

法線とは？法線の方程式や法線ベクトルの公式・求め方

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{p}\) とし、\(\mathrm{P}\) は円周上の任意の点とする。

• 中心 \(\mathrm{C}\)、半径 \(r\) の円

\(|\vec{p} − \vec{c}| = r\)
\((\vec{p} − \vec{c}) \cdot (\vec{p} − \vec{c}) = r^2\)

• 線分 \(\mathrm{AB}\) を直径とする円
  \begin{align}(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\end{align}

球面上の任意の点を \(\mathrm{P}(\vec{p})\) とすると、中心 \(\mathrm{C}(\vec{c})\)、半径 \(r\) の球面のベクトル方程式は

\begin{align}|\vec{p} − \vec{c}| = r\end{align}

\begin{align}(\vec{p} − \vec{c}) \cdot (\vec{p} − \vec{c}) = r^2\end{align}

点 \(\mathrm{A}(\vec{a})\) を通り、\(\vec{n} \,(\neq \vec{0})\) に垂直な平面のベクトル方程式は

\begin{align}\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0\end{align}

\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}\), \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{p}\) とする。

（ただし、\(\vec{a} \neq \vec{0}\), \(\vec{b} \neq \vec{0}\), \(\vec{a} \neq \vec{b}\)、\(s\) と \(t\) は実数の変数とする。）

\(\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}\) について、\(s\), \(t\) に条件があると、\(\vec{p}\) の終点 \(\mathrm{P}\) の存在範囲は次のようになる。

• 直線 \(\mathrm{AB}\)
  \begin{align}s + t = 1\end{align}
• 線分 \(\mathrm{AB}\)
  \begin{align}s + t = 1, s \geq 0, t \geq 0\end{align}
• \(\triangle \mathrm{OAB}\) の周および内部
  \begin{align}s + t \leq 1, s \geq 0, t \geq 0\end{align}
• 平行四辺形 \(\mathrm{OACB}\) の周および内部
  \begin{align}0 \leq s \leq 1, 0 \leq t \leq 1\end{align}

ベクトル方程式で扱う \(s, t\) などの実数の変数は、「媒介変数」と呼ばれます。

媒介変数表示とは？グラフや計算（微分積分・ベクトル）

（見切れる場合は横へスクロール）

空間ベクトルの成分表示

原点を \(\mathrm{O}\) とする座標空間において、\(\vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) となる点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2, a_3)\) をとると、\(\vec{a}\) は次のように表せる。

\begin{align}\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\end{align}

このとき、\(a_1\) を \(x\) 成分、\(a_2\) を \(y\) 成分、\(a_3\) を \(z\) 成分という。

空間ベクトルの相等

\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) について

\begin{align}\vec{a} = \vec{b}  \iff  a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3\end{align}

成分による空間ベクトルの演算

\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)、\(k, l\) を実数とするとき、

• 和
  \begin{align}\vec{a} + \vec{b} &= (a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3) \\&= (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)\end{align}
• 差
  \begin{align}\vec{a} − \vec{b} &= (a_1, a_2, a_3) − (b_1, b_2, b_3) \\&= (a_1 − b_1, a_2 − b_2, a_3 − b_3)\end{align}
• 零ベクトル
  \begin{align}\vec{a} = \vec{0}  \iff  a_1 = 0, a_2 = 0, a_3 = 0\end{align}
• 実数倍
  
  \begin{align}k\vec{a} &= k(a_1, a_2, a_3) \\&= (k a_1, k a_2, k a_3) \\\\ k\vec{a} + l\vec{b}&= k(a_1, a_2, a_3) + l(b_1, b_2, b_3) \\&= (k a_1 + l b_1, k a_2 + l b_2, k a_3 + l b_3)\end{align}

空間ベクトルの成分と大きさ

• \(\vec{a}\) の大きさ
  \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) のとき
  \begin{align}|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\end{align}
• \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) の大きさ
  \(2\) 点 \(\mathrm{A}(a_1, a_2, a_3)\), \(\mathrm{B}(b_1, b_2, b_3)\) について、\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (b_1 − a_1, b_2 − a_2, b_3 − a_3)\) より
  
  \begin{align}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = \sqrt{(b_1 − a_1)^2 + (b_2 − a_2)^2 + (b_3 − a_3)^2}\end{align}

空間ベクトルの分解

同じ平面上にない \(4\) 点 \(\mathrm{O}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\) に対して \(\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \vec{c}\) とすると、任意のベクトル \(\vec{p}\) をただ \(1\) 通りに表すことができる。

\begin{align}\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} + u\vec{c}\end{align}

（\(s, t, u\) は実数）

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) のなす角を \(\theta\) \((0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ)\) とする。

1. 内積のベクトル表示
   \begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\end{align}
2. 内積の成分表示
   \begin{align}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3\end{align}
3. ベクトルのなす角
   
   \begin{align} \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}\end{align}
   
   （見切れる場合は横へスクロール）

\(\vec{0}\) でない \(2\) つのベクトル \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) がなす角を \(\theta\) とするとき、\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) に垂直で、かつ大きさが \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta\) のベクトルを \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の「外積」という。

\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) の外積のうち、\(\vec{a}\) から \(\vec{b}\) の向きへ右ねじを回転したときにねじの進む向きのベクトルは以下のように表す。

\begin{align}\vec{a} \times \vec{b}\end{align}

（\(\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}\)）

また、\(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\) のとき

（見切れる場合は横へスクロール）