この記事では、「対称式」と「交代式」の定義や公式をできるだけわかりやすく解説していきます。
対称式の含まれる因数分解の問題の解き方も説明するので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね！
目次
対称式・交代式とは？
対称式とは、どの \(2\) つの変数を入れ替えても、元の式の値と変わらない式のことです。
一方、交代式とは、どの \(2\) つの変数を入れ替えても、元の式の \(−1\) 倍になる式のことです。
例えば、\(x + y\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えて \(y + x\) としても元の式と同じ値ですが、\(x − y\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると \(y − x = −(x − y)\) となり、元の式の \(−1\) 倍となります。
よって、\(x + y\) は対称式、\(x − y\) は交代式といえます。
対称式であるもの、対称式でないものの例を見てみましょう。
- \(\bf{2}\) 変数の対称式の例
- \(\color{red}{x + y}\)
- \(\color{red}{xy}\)
- \(\color{red}{x^2 + xy + y^2}\)
- \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)
- \(\color{red}{x^3 + y^3}\)
- \(2\) 変数の対称式でないものの例
- \(x + 2y\)
- \(x^2y\)
- \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y}\)
- \(x^3y + x^2y^2\)
- \(\bf{3}\) 変数の対称式の例
- \(\color{red}{x + y + z}\)
- \(\color{red}{xyz}\)
- \(\color{red}{xy + yz + zx}\)
- \(\color{red}{x^2 + y^2 + z^2}\)
- \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\)
- \(3\) 変数の対称式でないものの例
- \(x + 2y + z\)
- \(x^2yz\)
- \(2xy + yz + 3zx\)
- \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z^3}\)
- 交代式の例
- \(\color{red}{x^2 − y^2}\)
- \(\color{red}{xy^3 − x^3y}\)
- \(\color{red}{x^2(y − z) + y^2(z − x) + z^2(x − y)}\)
例を見てもわかるように、異なる変数が同じ数、同じ配置で登場する規則的な式であれば、対称式や交代式である可能性が高いです。
対称式・交代式の変形公式
ここでは、対称式・交代式の重要な変形公式を説明します。
基本対称式
すべての対称式は、「基本対称式」の組み合わせで表すことができます。
基本対称式とは、すべての対称式の元となる最小単位の対称式です。
\begin{align}\color{red}{x + y}\end{align}
\begin{align}\color{red}{xy}\end{align}
\begin{align}\color{red}{x + y + z}\end{align}
\begin{align}\color{red}{xy + yz + zx}\end{align}
\begin{align}\color{red}{xyz}\end{align}
対称式の変形公式
対称式を基本対称式の組み合わせに変形する代表的な公式を \(5\) つ示します。
（見切れる場合は横へスクロール）
- \(\color{red}{x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy}\)
- \(\color{red}{x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)}\)
- \(\color{red}{x^n + y^n }\) \(\color{red}{ = (x + y)(x^{n − 1} + y^{n − 1}) − xy(x^{n − 2} + y^{n − 2})}\)
- \(\color{red}{x^2 + y^2 + z^2 }\) \(\color{red}{ = (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)}\)
- \(\color{red}{x^3 + y^3 + z^3 }\) \(\color{red}{ = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx) + 3xyz}\)
基本対称式の組み合わせに変形することで、基本対称式（\(x + y\), \(xy\) など）の値さえわかれば個々の変数（\(x, y\) など）の値がわからなくても対称式の値を求められます。
問題を解いていく上でとても便利なので、必ず覚えておきましょう！
交代式の変形公式
交代式を変形する際には、以下の性質を利用します。
- \(\color{red}{(\text{交代式}) = (\text{交代式})(\text{対称式})}\)
特に、
\(\color{red}{(2 \ \text{変数交代式}) = (x − y)(\text{対称式})}\)
\(\color{red}{(3 \ \text{変数交代式}) }\) \(\color{red}{= (x − y)(y − z)(z − x)(\text{対称式})}\)
（例）
\(x^2 − y^2 = (x − y)(x + y)\)
\(x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + xy + y^2)\)
\(x(y − z)^3 + y(z − x)^3 + z(x − y)^3 \) \(= (x − y)(y − z)(z − x)(x + y + z)\) - \(\color{red}{(\text{交代式})(\text{交代式}) = (\text{対称式})} \) \(\color{red}{= (\text{基本対称式の組み合わせ})}\)
（例）
\(\begin{align}(x − y)^2 &= x^2 − 2xy + y^2 \\&= (x + y)^2 − 4xy\end{align}\)
交代式の場合、最小単位の交代式（\(x − y\) など）で因数分解できることが多いです。
また、2 のように基本対称式の組み合わせで表せる場合もあります。
通常の因数分解の公式を使いこなせるようになっておくことも、対称式・交代式の問題では役に立ちます。
因数分解とは？公式や計算のやり方、問題の解き方
対称式・交代式の値の求め方
ここでは、対称式や交代式の値の求め方を練習問題を通して説明します。
ポイントは、以下の \(2\) つです。
- 基本対称式の値を求めておく
- 問題の式を基本対称式や \((x − y)\) を含む形に変形する
練習問題①「x, y の式の値」
\(\displaystyle x = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2}\)、\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2}\) のとき、次の値を求めなさい。
(1) \(x^2 + y^2\)
(2) \(x^3 + y^3\)
(3) \(x^4 − y^4\)
今回は変数が \(x\), \(y\) だけなので、\(2\) 変数の基本対称式 \(x + y\)、\(xy\) の値を求めます。
問題の式を基本対称式を含む式に変形し、値を代入すると答えが求められます。
(3) のような交代式であっても、因数分解して小さなかたまりごとに考えると値を求めやすくなります。
\(\displaystyle x + y\)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} + \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2}\)
\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{5} − 2)^2 + (\sqrt{5} + 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} − 2)}\)
\(\displaystyle = \frac{(5 − 4\sqrt{5} + 4) + (5 + 4\sqrt{5} + 4)}{5 − 4}\)
\(= 18\) …①
\(\displaystyle xy = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2} = 1\) …②
(1)
対称式の変形公式 \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy\) に①、②を代入すると、
\(\begin{align}x^2 + y^2 &= 18^2 − 2 \cdot 1 \\&= 324 − 2 \\&= 322\end{align}\)
答え： \(\color{red}{322}\)
(2)
対称式の変形公式 \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)\) に①、②を代入すると、
\(\begin{align}x^3 + y^3 &= 18^3 − 3 \cdot 1 \cdot 18 \\&= 5832 − 54 \\&= 5778\end{align}\)
答え： \(\color{red}{5778}\)
(3)
\(\begin{align}x^4 − y^4 &= (x^2 + y^2)(x^2 − y^2) \\&= (x^2 + y^2)(x + y)(x − y)\end{align}\)
ここで、
\(\begin{align}x − y &= \displaystyle \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} − \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2} \\&= \frac{(\sqrt{5} − 2)^2 − (\sqrt{5} + 2)^2}{5 − 4} \\&= (9 − 4\sqrt{5}) − (9 + 4\sqrt{5}) \\&= −8\sqrt{5}\end{align}\)
また、(1) より \(x^2 + y^2 = 322\) であるから、
\(\begin{align}x^4 − y^4 &= (x^2 + y^2)(x + y)(x − y) \\&= 322 \cdot 18 (−8\sqrt{5}) \\&= −46368\sqrt{5}\end{align}\)
答え： \(\color{red}{−46368\sqrt{5}}\)
練習問題②「分数を含む x, y の式の値」
\(\displaystyle x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}\) のとき、次の値を求めなさい。
(1) \(\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}\)
(2) \(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3}\)
(3) \(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)
変数が \(x\) しかないように見えますが、\(x\), \(\displaystyle \frac{1}{x}\) を別の変数と見てみましょう。
そうすると、\(2\) 変数の対称式の問題ですね。
\(x\), \(\displaystyle \frac{1}{x}\) を変数とみると、
基本対称式は
\(\displaystyle x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}\)
\(\displaystyle x \cdot \frac{1}{x} = 1\)
(1)
\(\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}\)
\(\displaystyle = x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 − 2x \cdot \frac{1}{x}\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 − 2\)
\(= (\sqrt{6})^2 − 2\)
\(= 4\)
答え： \(\color{red}{4}\)
(2)
\(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3}\)
\(\displaystyle = x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 − 3x \cdot \frac{1}{x} \left( x + \frac{1}{x} \right)\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 − 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)\)
\(= (\sqrt{6})^3 − 3(\sqrt{6})\)
\(= 6\sqrt{6} − 3\sqrt{6}\)
\(= 3\sqrt{6}\)
答え： \(\color{red}{3\sqrt{6}}\)
(3) （見切れる場合は横へスクロール）
\(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)
\(\displaystyle = x^5 + \left( \frac{1}{x} \right)^5\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \ x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)
ここで、
\(\displaystyle x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4\)
\(\displaystyle = \left\{ x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 \right\}^2 − 2 \left( x \cdot \frac{1}{x} \right)^2\)
\(\displaystyle = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 − 2\)
\(= 4^2 − 2\)
\(= 16 − 2\)
\(= 14\)
であるから、
\(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)
\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)
\(= 4 \cdot 14 − 3\sqrt{6}\)
\(= 56 − 3\sqrt{6}\)
答え： \(\color{red}{56 − 3\sqrt{6}}\)
練習問題③「x, y, z の式の値」
\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\) のとき、次の値を求めなさい。
(1) \(x^2 + y^2 + z^2\)
(2) \(x^3 + y^3 + z^3\)
(3) \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
(4) \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)
\(3\) 変数の対称式になっても、基本的な進め方は同じです。
\(3\) 変数の変形公式は少し複雑ですが、頑張って覚えるようにしましょう！
（見切れる場合は横へスクロール）
(1)
対称式の変形公式より、
\(x^2 + y^2 + z^2 \) \(= (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)\)
\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\) を代入して
\(x^2 + y^2 + z^2\)
\(= (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)\)
\(= 4^2 − 2 \cdot 5\)
\(= 16 − 10\)
\(= 6\)
答え： \(\color{red}{6}\)
(2)
対称式の変形公式より、
\(x^3 + y^3 + z^3\)
\(= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx) + 3xyz\)
\(= (x + y + z) \{x^2 + y^2 + z^2 − (xy + yz + zx)\} + 3xyz\)
\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\)、\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\) を代入して
\(x^3 + y^3 + z^3\)
\(= (x + y + z) \{x^2 + y^2 + z^2 − (xy + yz + zx)\} + 3xyz\)
\(= 4(6 − 5) + 3 \cdot 6\)
\(= 4 \cdot 1 + 18\)
\(= 22\)
答え： \(\color{red}{22}\)
(3)
通分して分母をそろえると、
\(\begin{align}\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{yz + xz + xy}{xyz}\\&= \frac{xy + yz + zx}{xyz}\end{align}\)
\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\) を代入すると
\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)
\(\displaystyle = \frac{xy + yz + zx}{xyz}\)
\(\displaystyle = \frac{5}{6}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{5}{6}}\)
(4)
\(\displaystyle \frac{1}{x}\)、\(\displaystyle \frac{1}{y}\)、\(\displaystyle \frac{1}{z}\) を変数とみると、
\(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} + \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{x} \right)\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right)\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{z}{xyz} + \frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} \right)\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − \frac{2(x + y + z)}{xyz}\)
\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{6}\)、\(x + y + z = 4\)、\(xyz = 6\) を代入して
\(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)
\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − \frac{2(x + y + z)}{xyz}\)
\(\displaystyle = \left( \frac{5}{6} \right)^2 − 2 \cdot \frac{4}{6}\)
\(\displaystyle = \frac{25}{36} − \frac{4}{3}\)
\(\displaystyle = \frac{25 − 48}{36}\)
\(\displaystyle = −\frac{23}{36}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle −\frac{23}{36}}\)
対称式・交代式の因数分解の解き方
式の中で異なる変数が同じ数だけ、同じ配置で登場する場合は、基本対称式または \((x − y)\) などの交代式を含む因数で因数分解できることが多いです。
練習問題を通して、対称式・交代式の因数分解のやり方を確認しましょう。
練習問題①「3 変数の展開式」
\(abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1\) を因数分解しなさい。
\(a\), \(b\), \(c\) が同じ数、同じ配置で登場しているので対称式です。
対称式だろうがそうでなかろうが、因数分解の基本は「共通因数でくくること」でしたね。
まずは \(a\) について整理してみましょう。
\(a\) について整理すると、
\(abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1\)
\(= (bc + b + c + 1)a + (bc + b + c + 1)\)
\(= (bc + b + c + 1)(a + 1)\)
さらに \(b\) でくくると、
\((bc + b + c + 1)(a + 1)\)
\(= \{(c + 1)b + (c + 1)\} (a + 1)\)
\(= (c + 1)(b + 1)(a + 1)\)
\(= (a + 1)(b + 1)(c + 1)\)
答え： \(\color{red}{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}\)
\((c + 1)(b + 1)(a + 1)\) を答えとしても間違っていないのですが、変数の順序が自然になるように並べ替えておく（アルファベット順など）のが一般的です。
練習問題②「部分的に因数分解された式」
\((a + b)(b + c)(c + a) + abc\) を因数分解しなさい。
式の一部分だけが因数分解されている場合は、まず展開して整理し直しましょう。
その際、むやみに展開・整理するのではなく、特定の変数について整理していくと因数分解しやすいですよ。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(a\) の式とみて展開すると、
\((a + b)(b + c)(c + a) + abc\)
\(= (b + c) \{(a + b)(a + c)\} + abc\)
\(= (b + c) \{a^2 + (b + c)a + bc\} + bca\)
\(= (b + c)a^2 + (b + c)^2a + bc(b + c) + bca\)
\(= (b + c)a^2 + \{(b + c)^2 + bc\}a + bc(b + c)\)
\(= (b + c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b + c)\)
ここで、たすき掛けすると、
となるので、
\((b + c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b + c)\)
\(= \{a + (b + c)\} \{a(b + c) + bc\}\)
\(= (a + b + c)(ab + bc + ca)\)
答え： \(\color{red}{(a + b + c)(ab + bc + ca)}\)
練習問題③「3 変数の三次式」
次の式を因数分解しなさい。
(1) \((a + b + c)^3 − a^3 − b^3 − c^3\)
(2) \(a^2(b − c) + b^2(c − a) + c^2(a − b)\)
(1) は対称式、(2) は交代式ですね。
まずは \(1\) つの変数に注目して式を展開・整理します。
(1) の三次式の展開は大変なので、\(a\) についての式とみて \(b + c\) を別の文字に置き換えて展開するとやりやすいですよ。
（見切れる場合は横へスクロール）
(1)
\(b + c = A\) とおくと、
\((a + b + c)^3\)
\(= (a + A)^3\)
\(= a^3 + 3Aa^2 + 3A^2a + A^3\)
より、
\((a + b + c)^3 − a^3 − b^3 − c^3\)
\(= (a + A)^3 − a^3 − b^3 − c^3\)
\(= (a^3 + 3Aa^2 + 3A^2a + A^3) − a^3 − b^3 − c^3\)
\(= 3Aa^2 + 3A^2a + A^3 − b^3 − c^3\)
\(A\) を \(b + c\) にもどすと、
\(3Aa^2 + 3A^2a + A^3 − b^3 − c^3\)
\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + (b + c)^3 − b^3 − c^3\)
\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + 3b^2c + 3bc^2\)
\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + 3bc(b + c)\)
\(= 3(b + c) \{a^2 + (b + c)a + bc\}\)
\(= 3(b + c)(a + b)(a + c)\)
\(= 3(a + b)(b + c)(c + a)\)
答え： \(\color{red}{3(a + b)(b + c)(c + a)}\)
(2)
\(a\) について整理すると、
\(a^2(b − c) + b^2(c − a) + c^2(a − b)\)
\(= (b − c)a^2 + b^2c − b^2a + c^2a − c^2b\)
\(= (b − c)a^2 − (b^2 − c^2)a + (b^2c − c^2b)\)
\(= (b − c)a^2 − (b + c)(b − c)a + bc(b − c)\)
\(= (b − c)\{a^2 − (b + c)a + bc\}\)
\(= (b − c)(a − b)(a − c)\)
\(= −(a − b)(b − c)(c − a)\)
答え： \(\color{red}{−(a − b)(b − c)(c − a)}\)
以上で問題も終わりです！
対称式や交代式の問題を解くためには、まず変形公式を正確に覚えることが大切です。
この記事でしっかりと復習して、必ずマスターしておきましょうね！
交代式の性質 のところの
(x-y)(x²+2xy+y²) → (x-y)(x²+xy+y²)
じゃないですか？
間違っていたらすいません。
この度はコメントいただきありがとうございます。
ご指摘を受け、該当部分を修正いたしました。
今後ともどうぞ当サイトをよろしくお願いいたします。