対称式・交代式とは?因数分解のやり方や問題の解き方

この記事では、「対称式」と「交代式」の定義や公式、問題の解き方を解説していきます。

また、対称式の含まれる因数分解の問題についても解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

対称式とは?

対称式とは、どの \(\bf{2}\) つの変数を入れ替えても元の式の値と変わらない式のことをいいます。

例えば、「\(x + y\)」という式は、\(x\) と \(y\) を入れ替えても「\(y + x\)」となり、元の式と同じ値です。

よって「\(x + y\)」は対称式といえます。

 

対称式であるもの、対称式でないものの例を見てみましょう。

  • \(\bf{2}\) 変数の対称式の例
    • \(\color{red}{x + y}\)
    • \(\color{red}{xy}\)
    • \(\color{red}{x^2 + xy + y^2}\)
    • \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)
    • \(\color{red}{x^3 + y^3}\)
  • \(2\) 変数の対称式でないものの例
    • \(x + 2y\)
    • \(x^2y\)
    • \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y}\)
    • \(x^3y + x^2y^2\)
  • \(\bf{3}\) 変数の対称式の例
    • \(\color{red}{x + y + z}\)
    • \(\color{red}{xyz}\)
    • \(\color{red}{xy + yz + zx}\)
    • \(\color{red}{x^2 + y^2 + z^2}\)
    • \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\)
  • \(3\) 変数の対称式でないものの例
    • \(x + 2y + z\)
    • \(x^2yz\)
    • \(2xy + yz + 3zx\)
    • \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z^3}\)

 

交代式とは?

一方、交代式とは、どの \(\bf{2}\) つの変数を入れ替えても、元の式の \(\bf{−1}\) 倍になる式のことをいいます。

例えば、「\(x − y\)」という式において、 \(x\) と \(y\) を入れ替えると「\(y − x = −(x − y)\)」となり、元の式の \(−1\) 倍となっていますね。

このような式を交代式といいます。

  • 交代式の例
    • \(\color{red}{x^2 − y^2}\)
    • \(\color{red}{xy^3 − x^3y}\)
    • \(\color{red}{x^2(y − z) + y^2(z − x) + z^2(x − y)}\)

 

対称式・交代式の変形公式

ここでは、対称式・交代式の重要な変形公式を説明します。

基本対称式

すべての対称式は、「基本対称式」の組み合わせで表すことができます。

基本対称式とは、すべての対称式の元となる特別な対称式のことです。

2 変数の基本対称式

\begin{align}\color{red}{x + y}\end{align}

\begin{align}\color{red}{xy}\end{align}

3 変数の基本対称式

\begin{align}\color{red}{x + y + z}\end{align}

\begin{align}\color{red}{xy + yz + zx}\end{align}

\begin{align}\color{red}{xyz}\end{align}

 

対称式の変形

そして、対称式を基本対称式の組み合わせに変形する代表的な公式を \(5\) つ示します。

対称式の変形

(見切れる場合は横へスクロール)

  1. \(\color{red}{x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy}\)
  2. \(\color{red}{x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)}\)
  3. \(\color{red}{x^n + y^n }\) \(\color{red}{ = (x + y)(x^{n − 1} + y^{n − 1}) − xy(x^{n − 2} + y^{n − 2})}\)
  4. \(\color{red}{x^2 + y^2 + z^2 }\) \(\color{red}{ = (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)}\)
  5. \(\color{red}{x^3 + y^3 + z^3 }\) \(\color{red}{ = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx) + 3xyz}\)

基本対称式の組み合わせに変形することで、基本対称式(\(x + y\), \(xy\) など)の値さえわかれば個々の変数(\(x, y\) など)の値がわからなくても対称式の値を求められます。

問題を解いていく上でとても便利なので、必ず覚えておきましょう!

 

交代式の変形

交代式を変形する際には、以下の性質を利用します。

交代式の性質
  1. \(\color{red}{(\text{交代式}) = (\text{対称式})(\text{交代式})}\)
    (例)
    \(x^2 − y^2 = (x − y)(x + y)\)
  2. \(\color{red}{(\text{交代式})^2 = (\text{対称式})} \) \(\color{red}{= (\text{基本対称式の組み合わせ})}\)
    (例)
    \(\begin{align}|x − y| &= \sqrt{(x − y)^2} \\&= \sqrt{x^2 − 2xy + y^2} \\&= \sqrt{(x + y)^2 − 4xy}\end{align}\)
  3. \(\color{red}{(2 \ \text{変数交代式}) = (x − y)(\text{対称式})}\)
    (例)
    \(x^2 − y^2 = (x − y)(x + y)\)
    \(x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + 2xy + y^2)\)
  4. \(\color{red}{(3 \ \text{変数交代式}) }\) \(\color{red}{= (x − y)(y − z)(z − x)(\text{対称式})}\)
    (例)
    \(x(y − z)^3 + y(z − x)^3 + z(x − y)^3 \) \(= (x − y)(y − z)(z − x)(x + y + z)\)

 

対称式・交代式の練習問題

それでは、実際に対称式や交代式の値を求める問題を解いていきましょう。

練習問題①「x, y の式の値」

練習問題①

\(\displaystyle x = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2}\)、\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2}\) のとき、次の値を求めなさい。

(1) \(x^2 + y^2\)

(2) \(x^3 + y^3\)

(3) \(x^4 − y^4\)

 

まずは基本対称式 \(x + y\)、\(xy\) の値を求めます。

それらの値を変形公式に当てはめれば答えが求められます。

解答

 

\(\displaystyle x + y\)

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} + \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2}\)

\(\displaystyle = \frac{(\sqrt{5} − 2)^2 + (\sqrt{5} + 2)^2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} − 2)}\)

\(\displaystyle = \frac{(5 − 4\sqrt{5} + 4) + (5 + 4\sqrt{5} + 4)}{5 − 4}\)

\(= 18\) …①

 

 

\(\displaystyle xy = \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2} = 1\) …②

 

 

(1)

対称式の変形公式 \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy\) に①、②を代入すると、

\(\begin{align}x^2 + y^2 &= 18^2 − 2 \cdot 1 \\&= 324 − 2 \\&= 322\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{322}\)

 

 

(2)

対称式の変形公式 \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)\) に①、②を代入すると、

\(\begin{align}x^3 + y^3 &= 18^3 − 3 \cdot 1 \cdot 18 \\&= 5832 − 54 \\&= 5778\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{5778}\)

 

 

(3)

\(\begin{align}x^4 − y^4 &= (x^2 + y^2)(x^2 − y^2) \\&= (x^2 + y^2)(x + y)(x − y)\end{align}\)

 

ここで、

\(\begin{align}x − y &= \displaystyle \frac{\sqrt{5} − 2}{\sqrt{5} + 2} − \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} − 2} \\&= \frac{(\sqrt{5} − 2)^2 − (\sqrt{5} + 2)^2}{5 − 4} \\&= (9 − 4\sqrt{5}) − (9 + 4\sqrt{5}) \\&= −8\sqrt{5}\end{align}\)

であるから、

 

\(\begin{align}x^4 − y^4 &= (x^2 + y^2)(x + y)(x − y) \\&= 322 \cdot 18 (−8\sqrt{5}) \\&= −46368\sqrt{5}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−46368\sqrt{5}}\)

 

練習問題②「分数を含む x, y の式の値」

練習問題②

\(\displaystyle x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}\) のとき、次の値を求めなさい。

(1) \(\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}\)

(2) \(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3}\)

(3) \(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)

 

変数が \(x\) しかないように見えますが、\(x\), \(\displaystyle \frac{1}{x}\) を別の変数と見てみましょう。

そうすると、\(2\) 変数の対称式の問題ですね。

解答

 

\(x\), \(\displaystyle \frac{1}{x}\) を変数とみると、

基本対称式は

\(\displaystyle x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}\)

\(\displaystyle x \cdot \frac{1}{x} = 1\)

 

(1)

\(\displaystyle x^2 + \frac{1}{x^2}\)

\(\displaystyle = x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 − 2x \cdot \frac{1}{x}\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 − 2\)

\(= (\sqrt{6})^2 − 2\)

\(= 4\)

 

答え: \(\color{red}{4}\)

 

 

(2)

\(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3}\)

\(\displaystyle = x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 − 3x \cdot \frac{1}{x} \left( x + \frac{1}{x} \right)\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 − 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)\)

\(= (\sqrt{6})^3 − 3(\sqrt{6})\)

\(= 6\sqrt{6} − 3\sqrt{6}\)

\(= 3\sqrt{6}\)

 

答え: \(\color{red}{3\sqrt{6}}\)

 

 

(3) (見切れる場合は横へスクロール)

\(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)

\(\displaystyle = x^5 + \left( \frac{1}{x} \right)^5\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \ x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)

 

ここで、

\(\displaystyle x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4\)

\(\displaystyle = \left\{ x^2 + \left( \frac{1}{x} \right)^2 \right\}^2 − 2 \left( x \cdot \frac{1}{x} \right)^2\)

\(\displaystyle = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 − 2\)

\(= 4^2 − 2\)

\(= 16 − 2\)

\(= 14\)

であるから、

 

\(\displaystyle x^5 + \frac{1}{x^5}\)

\(\displaystyle = \left( x + \frac{1}{x} \right) \left\{ x^4 + \left( \frac{1}{x} \right)^4 \right\} − \left\{ x^3 + \left( \frac{1}{x} \right)^3 \right\}\)

\(= 4 \cdot 14 − 3\sqrt{6}\)

\(= 56 − 3\sqrt{6}\)

 

答え: \(\color{red}{56 − 3\sqrt{6}}\)

 

練習問題③「x, y, z の式の値」

練習問題③

\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\) のとき、次の値を求めなさい。

(1) \(x^2 + y^2 + z^2\)

(2) \(x^3 + y^3 + z^3\)

(3) \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)

(4) \(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)

 

\(3\) 変数の対称式になっても、問題の基本的な進め方は同じです。

\(3\) 変数の変形公式は少し複雑ですが、頑張って覚えるようにしましょう!

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

(1)

対称式の変形公式より、

\(x^2 + y^2 + z^2 \) \(= (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)\)

 

\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\) を代入して

\(x^2 + y^2 + z^2\)

\(= (x + y + z)^2 − 2(xy + yz + zx)\)

\(= 4^2 − 2 \cdot 5\)

\(= 16 − 10\)

\(= 6\)

 

答え: \(\color{red}{6}\)

 

 

(2)

対称式の変形公式より、

\(x^3 + y^3 + z^3\)

\(= (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − zx) + 3xyz\)

\(= (x + y + z) \{x^2 + y^2 + z^2 − (xy + yz + zx)\} + 3xyz\)

 

\(x + y + z = 4\)、\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\)、\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\) を代入して

\(x^3 + y^3 + z^3\)

\(= (x + y + z) \{x^2 + y^2 + z^2 − (xy + yz + zx)\} + 3xyz\)

\(= 4(6 − 5) + 3 \cdot 6\)

\(= 4 \cdot 1 + 18\)

\(= 22\)

 

答え: \(\color{red}{22}\)

 

 

(3)

通分して分母をそろえると、

\(\begin{align}\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \frac{yz + xz + xy}{xyz}\\&= \frac{xy + yz + zx}{xyz}\end{align}\)

 

\(xy + yz + zx = 5\)、\(xyz = 6\) を代入すると

\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\)

\(\displaystyle = \frac{xy + yz + zx}{xyz}\)

\(\displaystyle = \frac{5}{6}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{5}{6}}\)

 

 

(4)

\(\displaystyle \frac{1}{x}\)、\(\displaystyle \frac{1}{y}\)、\(\displaystyle \frac{1}{z}\) を変数とみると、

\(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} + \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{x} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − 2\left( \frac{z}{xyz} + \frac{x}{xyz} + \frac{y}{xyz} \right)\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − \frac{2(x + y + z)}{xyz}\)

 

 

\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{5}{6}\)、\(x + y + z = 4\)、\(xyz = 6\) を代入して

\(\displaystyle \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 − \frac{2(x + y + z)}{xyz}\)

\(\displaystyle = \left( \frac{5}{6} \right)^2 − 2 \cdot \frac{4}{6}\)

\(\displaystyle = \frac{25}{36} − \frac{4}{3}\)

\(\displaystyle = \frac{25 − 48}{36}\)

\(\displaystyle = −\frac{23}{36}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle −\frac{23}{36}}\)

 

対称式・交代式の因数分解の問題

式の中で異なる変数が同じ数だけ登場する場合は、基本対称式を含む因数で因数分解できることが多いです。

規則的な式だなと思ったらまず、対称式を疑ってみましょう。

それでは、実際にいくつか問題を解いて確認してみましょう!

練習問題①「3 変数の展開式」

練習問題①

\(abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1\) を因数分解しなさい。

 

\(a\), \(b\), \(c\) が同じ数、同じような場所に登場しているので対称式です。

対称式だろうがそうでなかろうが、因数分解の基本は「共通因数でくくること」でしたね。

まずは \(a\) について整理してみましょう。

解答

 

\(a\) について整理すると、

\(abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1\)

\(= (bc + b + c + 1)a + (bc + b + c + 1)\)

\(= (bc + b + c + 1)(a + 1)\)

 

さらに \(b\) でくくると、

\((bc + b + c + 1)(a + 1)\)

\(= \{(c + 1)b + (c + 1)\} (a + 1)\)

\(= (c + 1)(b + 1)(a + 1)\)

\(= (a + 1)(b + 1)(c + 1)\)

 

答え: \(\color{red}{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}\)

Tips

\((c + 1)(b + 1)(a + 1)\) を答えとしても間違っていないのですが、変数の順序が自然(アルファベット順など)になるように並べ替えておくのが一般的です。

 

練習問題②「3 変数の因数分解された式」

練習問題②

\((a + b)(b + c)(c + a) + abc\) を因数分解しなさい。

 

式の一部分だけが因数分解されている場合は、まず展開して整理し直しましょう。

その際、むやみに展開・整理するのではなく、特定の変数について整理していくと因数分解にたどり着きやすいですよ。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(a\) の式とみて展開すると、

\((a + b)(b + c)(c + a) + abc\)

\(= (b + c) \{(a + b)(a + c)\} + abc\)

\(= (b + c) \{a^2 + (b + c)a + bc\} + bca\)

\(= (b + c)a^2 + (b + c)^2a + bc(b + c) + bca\)

\(= (b + c)a^2 + \{(b + c)^2 + bc\}a + bc(b + c)\)

\(= (b + c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b + c)\)

 

ここで、たすき掛けすると、

となるので、

\((b + c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b + c)\)

\(= \{a + (b + c)\} \{a(b + c) + bc\}\)

\(= (a + b + c)(ab + bc + ca)\)

 

答え: \(\color{red}{(a + b + c)(ab + bc + ca)}\)

補足

「たすき掛け」のやり方は以下の記事で説明しています。

たすき掛けのやり方を徹底解説!因数分解の計算問題

 

練習問題③「3 変数の三次式」

練習問題③

次の式を因数分解しなさい。

(1) \((a + b + c)^3 − a^3 − b^3 − c^3\) 

(2) \(a^2(b − c) + b^2(c − a) + c^2(a − b)\)

 

(1) は対称式、(2) は交代式ですね。

まずはある変数に注目して式を展開・整理します。

(1) の三次式の展開は大変なので、\(a\) についての式とみて \(b + c\) を別の文字に置き換えて展開するとやりやすいですよ。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

(1)

\(b + c = A\) とおくと、

\((a + b + c)^3\)

\(= (a + A)^3\)

\(= a^3 + 3Aa^2 + 3A^2a + A^3\)

より、

 

\((a + b + c)^3 − a^3 − b^3 − c^3\)

\(= (a + A)^3 − a^3 − b^3 − c^3\)

\(= (a^3 + 3Aa^2 + 3A^2a + A^3) − a^3 − b^3 − c^3\)

\(= 3Aa^2 + 3A^2a + A^3 − b^3 − c^3\)

 

\(A\) を \(b + c\) にもどすと、

\(3Aa^2 + 3A^2a + A^3 − b^3 − c^3\)

\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + (b + c)^3 − b^3 − c^3\)

\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + 3b^2c + 3bc^2\)

\(= 3(b + c)a^2 + 3(b + c)^2 a + 3bc(b + c)\)

\(= 3(b + c) \{a^2 + (b + c)a + bc\}\)

\(= 3(b + c)(a + b)(a + c)\)

\(= 3(a + b)(b + c)(c + a)\)

 

答え: \(\color{red}{3(a + b)(b + c)(c + a)}\)

 

 

(2)

\(a\) について整理すると、

\(a^2(b − c) + b^2(c − a) + c^2(a − b)\)

\(= (b − c)a^2 + b^2c − b^2a + c^2a − c^2b\)

\(= (b − c)a^2  − (b^2 − c^2)a + (b^2c − c^2b)\)

\(= (b − c)a^2  − (b + c)(b − c)a + bc(b − c)\)

\(= (b − c)\{a^2  − (b + c)a + bc\}\)

\(= (b − c)(a − b)(a − c)\)

\(= −(a − b)(b − c)(c − a)\)

 

答え: \(\color{red}{−(a − b)(b − c)(c − a)}\)

以上で問題も終わりです!

 

対称式や交代式を利用した問題を解くためには、まず変形公式を正確に覚えることが大切です。

この記事でしっかりと復習して、必ずマスターしておきましょうね!

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