確率分布と統計的な推測を総まとめ！重要公式一覧

• 確率変数
  ある試行の結果によってその値が定まり、各値に対応して確率が定まるような変数
• 確率分布（分布）
  確率変数 \(X\) のとりうる値と、その値をとる確率 \(P\) との対応関係

\(P(X = x_k) = p_k (k = 1, 2, 3, \cdots, n)\) であるとき、次が成り立つ。

1. 確率は負の値をとらない
   \(p_k \geq 0\)
2. 確率の和は必ず \(1\) になる
   \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n p_k = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1\)

確率変数 \(X\) が \(P(X = x_k) = p_k\) \((k = 1, 2, 3, \cdots, n)\) を満たすとき、

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\(X\) を確率変数、\(a\), \(b\) を定数（ただし \(a \neq 0\), \(b \neq 0\)）とする。

• \(aX + b\) の期待値（平均）
  \begin{align}E(aX + b) = aE(x) + b\end{align}
• \(aX + b\) の分散
  \begin{align}V(aX + b) = a^2V(x)\end{align}
• \(aX + b\) の標準偏差
  \begin{align}\sigma(aX + b) = |a|\sigma(x)\end{align}

\(X\), \(Y\) を確率変数、\(a\), \(b\) を定数（ただし \(a \neq 0\), \(b \neq 0\)）とする。

• 和の期待値
  \(\begin{align}E(X + Y) = E(X) + E(Y)\end{align}\)
• 一次式の期待値
  \(\begin{align}E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\end{align}\)
• 積の期待値
  \(X\) と \(Y\) が互いに独立ならば
  \(\begin{align}E(XY) = E(X)E(Y)\end{align}\)
• 和の分散
  \(X\) と \(Y\) が互いに独立ならば
  \(\begin{align}V(X + Y) = V(X) + V(Y)\end{align}\)
• 一次式の分散
  \(X\) と \(Y\) が互いに独立ならば
  \(\begin{align}V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)\end{align}\)

実数のある区間全体に値をとる連続型確率変数 \(X\) の分布が確率密度関数 \(f(x)\) と対応するとき、次の性質が成り立つ。

1. 常に \(f(x) \geq 0\)
2. \(P(a \leq X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f(x) \ dx\)
3. \(X\) のとる値の範囲が \(\alpha \leq X \leq \beta\) のとき
   \(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x) \ dx = 1\)

連続型確率変数 \(X\) のとる値の範囲が \(\alpha \leq X \leq \beta\)、確率密度関数が \(f(x)\) であるとき、

• \(X\) の期待値
  \begin{align}m = E(X) = \displaystyle \int_\alpha^\beta xf(x) \ dx\end{align}
• \(X\) の分散
  \begin{align}V(X) = \displaystyle \int_\alpha^\beta (x − m)^2 f(x) \ dx\end{align}
• \(X\) の標準偏差
  \begin{align}\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\end{align}

ある試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\)、起こらない確率を \(q = (1 − p)\) とする。

この試行を \(n\) 回行う反復試行において、事象 \(A\) が起こる回数を \(X\) とすると、\(X\) は確率変数であり、その確率分布を二項分布といい、\(B(n, p)\) で表す。

確率変数 \(X\) が二項分布 \(B(n, p)\) に従うとき、

• \(X\) の期待値 \(E(X) = np\)
• \(X\) の分散 \(V(X) = npq\)
• \(X\) の標準偏差 \(\sigma(X) = \sqrt{npq}\)

（ただし、\(q = 1 − p\)）

二項分布 \(B(n, p)\) に従う確率変数 \(X\) は、\(n\) が十分に大きいとき、近似的に正規分布 \(N(np, npq)\) に従う。

さらに、\(Z = \displaystyle \frac{X − np}{\sqrt{npq}}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。

連続型確率変数 \(X\) の期待値（平均）を \(m\)、分散を \(\sigma^2\)、標準偏差 \(\sigma\) とする。（\(m\) は実数、\(\sigma\) は正の実数）

\(X\) の確率密度関数 \(f(x)\) が

\begin{align}f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\end{align}

で与えられているとき、\(X\) は正規分布 \(N(m, \sigma^2)\) に従うという。

正規分布 \(N(0, 1)\) を標準正規分布という。

\(N(0, 1)\) に従う連続型確率変数 \(Z\) の確率密度関数 \(f(z)\) は

\begin{align}f(z) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{− \displaystyle \frac{z^2}{2}}\end{align}

確率変数 \(X\) が正規分布 \(N(m, \sigma)\) に従うとき、

\begin{align}Z = \displaystyle \frac{X − m}{\sigma}\end{align}

とおくと、確率変数 \(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。

母集団から無作為抽出した大きさ \(n\) の標本の変量 \(x\) の値を \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) とするとき、標本平均 \(\overline{X}\) は

\begin{align}\overline{X} = \displaystyle \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}\end{align}

\(\overline{X}\) は、抽出される標本によって変化する確率変数である。

母平均 \(m\)、母標準偏差 \(\sigma\) の母集団から大きさ \(n\) の無作為標本を抽出するとき、その標本平均を \(\overline{X}\) とすると

• \(\overline{X}\) の期待値
  \begin{align}E(\overline{X}) = m\end{align}
• \(\overline{X}\) の分散
  \begin{align}V(\overline{X}) = \displaystyle \frac{\sigma^2}{n}\end{align}
• \(\overline{X}\) の標準偏差
  \begin{align}\sigma(\overline{X}) = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\end{align}

母平均 \(m\)、母標準偏差 \(\sigma\) の母集団から無作為抽出された大きさ \(n\) の標本について、標本平均 \(\overline{X}\) の分布は、\(n\) が大きいとき、近似的に正規分布 \(N\left(m, \displaystyle \frac{\sigma^2}{n}\right)\) に従う。

すなわち、

確率変数 \(Z = \displaystyle \frac{\overline{X} − m}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)

は近似的に標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。

母平均 \(m\) の母集団から大きさ \(n\) の無作為標本を抽出するとき、\(n\) が大きくなるに従い、その標本平均 \(\overline{X}\) は母平均 \(m\) に近づく。

母集団の中で、ある特性 \(A\) をもつ個体の割合 \(p\) を「特性 \(A\) の母比率」という。

一方、抽出された標本の中で特性 \(A\) をもつ個体の割合 \(R\) を「特性 \(A\) の標本比率」という。

大きさ \(n\) の標本の中で特性 \(A\) をもつ個体数を \(X\) とおくと、

\begin{align}R = \displaystyle \frac{X}{n}\end{align}

特性 \(A\) の母比率が \(p\) である母集団から大きさ \(n\) の標本を無作為抽出するとき、特性 \(A\) の標本比率 \(R\) は、\(n\) が大きいとき、近似的に正規分布 \(N\left(p, \displaystyle \frac{p(1 − p)}{n}\right)\) に従うとみなせる。

母平均 \(m\)、母標準偏差 \(\sigma\) の母集団から抽出された大きさ \(n\) の無作為標本の標本平均 \(\overline{X}\) から、母平均 \(m\) を信頼度 \(95 \) % で推定することを考える。

\(n\) が大きいとき、母平均 \(m\) に対する信頼度 \(95\) % の信頼区間は

\begin{align}\left[\overline{X} − 1.96 \cdot \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + 1.96 \cdot \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\end{align}

ある特性の母比率 \(p\) の母集団から抽出された大きさ \(n\) の無作為標本の標本比率 \(R\) から、母比率 \(p\) を信頼度 \(95\) % で推定することを考える。

\(n\) が大きいとき、母比率 \(p\) に対する信頼度 \(95\) % の信頼区間は

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