接線、接線の方程式とは？公式や微分による傾きの求め方

 

\(f(x) = x^3 – 2x + 1\) とすると

\(f’(x) = 3x^2 − 2\)

\(f’(2) = 10\)

より、点 \((2, 5)\) における接線の傾きは \(10\)

 

よって求める接線の方程式は

\(y − 5 = 10(x − 2)\)

\(y = 10x − 15\)

 

答え：　\(\color{red}{y = 10x − 15}\)

 

\(\displaystyle f(x) = x + \sqrt{x} = x + x^{\frac{1}{2}}\) より

\(f’(x) = 1 + \displaystyle \frac{1}{2}x^{−\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

 

点 \((a, f(a))\) における接線の方程式は

\(y − f(a) = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a}}\right)(x − a)\)

 

この直線の傾きが \(\displaystyle \frac{3}{2}\) であるとき、

\(1 + \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a}} = \displaystyle \frac{3}{2}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a}} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\sqrt{a} = 1\)

\(a = 1\)

接点は \((a, f(a)) = (1, 2)\)

 

よって求める接線の方程式は

\(y − 2 = \displaystyle \frac{3}{2}(x − 1)\)

\(y = \displaystyle \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}\)

 

答え：　\(\color{red}{y = \displaystyle \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}}\)

 

\(y = \displaystyle \frac{1}{x} + 1 = x^{−1} + 1\) より

\(y’ = −1 \cdot x^{−2} = −\displaystyle \frac{1}{x^2}\)

 

曲線上の点 \(\left(a, \displaystyle \frac{1}{a} + 1\right)\) における接線の方程式は

\(y − \left(\displaystyle \frac{1}{a} + 1\right) = −\displaystyle \frac{1}{a^2}(x − a)\)

すなわち

\(y = −\displaystyle \frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a} + 1\)

 

この直線が \(\mathrm{P}(1, −2)\) を通るとき

\(−2 = −\displaystyle \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a} + 1\)

\(\displaystyle \frac{1}{a^2} − \frac{2}{a} − 3 = 0\)

 

両辺に \(a^2\) をかけて

\(1 − 2a − 3a^2 = 0\)

\(3a^2 + 2a − 1 = 0\)

\((3a − 1)(a + 1) = 0\)

\(a = \displaystyle \frac{1}{3}, −1\)

 

よって求める接線の方程式および接点は

\(y = −9x + 7\)、\(\left(\displaystyle \frac{1}{3}, 4\right)\)

\(y = −x − 1\)、\((−1, 0)\)

 

答え：

\(\color{red}{y = −9x + 7}\)、\(\color{red}{\left(\displaystyle \frac{1}{3}, 4\right)}\)

\(\color{red}{y = −x − 1}\)、\(\color{red}{(−1, 0)}\)

 

\(x^2 − y^2 = a^2\) の両辺を \(x\) について微分すると

\(2x − 2yy’ = 0\)

よって \(y \neq 0\) のとき \(y’ = \displaystyle \frac{x}{y}\)

 

点 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\) における接線の方程式は、\(y_1 \neq 0\) のとき

\(y − y_1 = \displaystyle \frac{x_1}{y_1}(x − x_1)\)

すなわち

\(y_1y − y_1^2 = x_1x − x_1^2\)

\(x_1x − y_1y = x_1^2 − y_1^2\)

 

点 \(\mathrm{P}\) は双曲線上の点であるから

\(x_1^2 − y_1^2 = a^2\)

 

\(y_1 \neq 0\) のとき、接線の方程式は \(x_1x − y_1y = a^2\) …①

 

\(y_1 = 0\) のとき、\(x_1 = \pm a\) であり、接線の方程式は \(x = \pm a\)

これは①で \(x_1 = \pm a\), \(y_1 = 0\) とおくと得られる。

 

したがって、求める接線の方程式は \(x_1x − y_1y = a^2\)

 

答え：　\(\color{red}{x_1x − y_1y = a^2}\)

 

\(\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = −3\sin \theta\)、\(\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 2\cos \theta\)

よって \(\sin \theta \neq 0\) のとき \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = − \displaystyle \frac{2\cos \theta}{3\sin \theta}\)

 

\(\theta = \displaystyle \frac{\pi}{6}\) とすると

\(\mathrm{Q}\left(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}, 1\right)\)、\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = −\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

 

したがって、求める接線の方程式は

\(\displaystyle y − 1 = −\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x − \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)

すなわち

\(y = \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}x + 4\)

 

答え：　\(\color{red}{y = \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}x + 4}\)

 

\(y = \log x\) より \(y’ = \displaystyle \frac{1}{x}\)

\(y = ae^x\) より \(y’ = ae^x\)

 

曲線 \(y = \log x\) 上の点 \((1, 0)\) における接線の方程式は

\(y − 0 = 1(x − 1)\)

すなわち \(y = x − 1\) …①

 

また、曲線 \(y = ae^x\) 上の点 \((t, ae^t)\) の接線の方程式は

\(y − ae^t = ae^t(x − t)\)

すなわち \(y = ae^tx + ae^t(1 − t)\) …②

 

\(2\) 直線①、②が一致するための条件は

\(ae^t = 1\), \(ae^t(1 − t) = −1\)

\(1 − t = −1\)

\(t = 2\)

 

\(t = 2\) のとき、\(ae^2 = 1\) より

\(a = \displaystyle \frac{1}{e^2}\)

 

答え：　\(\color{red}{a = \displaystyle \frac{1}{e^2}}\)