この記事では、「二次不等式」の定義や解の範囲の求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。
また、判別式を利用した問題の解き方なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。
目次
二次不等式とは？
二次不等式とは、不等式のうち、変数の次数が \(2\) 次（\(2\) 乗） の不等式のことです。
例えば、「\(x^2 − 5x + 1 > 0\)」のような不等式です。
不等式
左辺と右辺が \(<\), \(>\), \(\leq\), \(\geq\) などの不等号で結ばれた、大小関係を示す式。
不等式に含まれる変数 \(x\) の値の範囲を求めることを「不等式を解く」という。
二次不等式と解の範囲【公式】
二次不等式の解の範囲は、\((\text{左辺}) = 0\) が解をもつかどうかに応じて、次のようになります。
\(ax^2 + bx + c\) \((a > 0)\) について、
【\(ax^2 + bx + c = 0\) が解 \(p\), \(q\) \((p > q)\) をもつ場合】
① 二次不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) の解の範囲は \(x < q\), \(x > p\)
② 二次不等式 \(ax^2 + bx + c < 0\) の解の範囲は \(q < x < p\)
【\(ax^2 + bx + c = 0\) が解をもたない場合】
③ 二次不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) の解の範囲は すべての実数
④ 二次不等式 \(ax^2 + bx + c < 0\) の \(x\) を満たす解はない
ここでは、説明を簡略化するため、係数 \(a\) が正の場合（\(a > 0\)）に絞って説明します。
なお、\(a\) が負の場合（\(a < 0\)）にも、不等式の両辺にマイナスをかけて同じように考えることができます。
（例）
\(−2x^2 + 5x + 2 < 0\) \(\iff\) \(2x^2 − 5x − 2 > 0\)
それでは、解の範囲①〜④について、詳しく説明していきます。
\(ax^2 + bx + c = 0\) が解をもつ場合①②
\(ax^2 + bx + c = 0\) が解 \(p, q\) をもつ、すなわち \(a(x − p)(x − q) = 0\) と因数分解できる場合、左辺をグラフに置き換えると、
\(\begin{align}y &= ax^2 + bx + c \\&= a(x − p)(x − q)\end{align}\)
となり、\(x\) 軸と \(x = p, q\) で交わる二次関数のグラフになります。
二次不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) では、\(y > 0\) となる \(x\) の範囲を考えます。
つまり、\(y\) 座標が \(0\) よりも大きい部分で不等式が成り立つので、\(x < q\), \(x > p\) が求める解の範囲です。
一方、二次不等式 \(ax^2 + bx + c < 0\) では、\(y < 0\) となる \(x\) の範囲を考えます。
つまり、\(y\) 座標が \(0\) よりも小さい部分で不等式が成り立つので、\(q < x < p\) が求める解の範囲です。
左辺が因数分解できる場合は、グラフに置き換えず、単純に各項の符号を調べる方法も有効です。
（例）
\(ax^2 + bx + c = a(x − p)(x − q)\)（\(a > 0, q < p\)）のとき
\(a(x − p)(x − q)\) の符号は、
\(x < q\) のとき正（プラス×マイナス×マイナス）
\(q < x < p\) のとき負（プラス×マイナス×プラス）
\(x > p\) のとき正（プラス×プラス×プラス）
不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) を満たすのは \(x < q\), \(x > p\)
不等式 \(ax^2 + bx + c < 0\) を満たすのは \(q < x < p\)
\(ax^2 + bx + c = 0\) が解をもたない場合③④
\(ax^2 + bx + c = 0\) が解をもたない場合、左辺をグラフに置き換えた \(y = ax^2 + bx + c\) は、\(x\) 軸と交わらず、常に \(x\) 軸よりも上側（\(y > 0\)）にある二次関数のグラフになります。
二次不等式 \(ax^2 + bx + c > 0\) では、\(y > 0\) となる \(x\) の範囲を考えます。
\(y = ax^2 + bx + c\) は常に \(x\) 軸よりも上側（\(y > 0\)）にあるので、\(x\) がどんな値であっても不等式が成り立ちます。
一方、二次不等式 \(ax^2 + bx + c < 0\) では、\(y < 0\) となる \(x\) の範囲を考えます。
つまり、\(y\) 座標が \(0\) よりも小さい部分に注目するわけですが、この部分にはグラフが存在しません。
したがって、\(ax^2 + bx + c < 0\) を満たすような \(x\) は存在しない、ということになります。
このほかにも、\(ax^2 + bx + c = 0\) が重解をもつ（\(y = ax^2 + bx + c\) が \(x\) 軸と \(1\) 点で交わる）場合や、不等号の記号が \(\leq\), \(\geq\) の場合など、いろいろなパターンがありますが、いずれにしてもグラフと \(x\) 軸の上下関係を考えてあげるとうまくいきます。
二次不等式の解き方
以下の例題を通して、二次不等式の解き方を説明します。
\(x^2 − x − 2 > 0\) を解け。
まずは二次不等式の解の範囲の端が存在するかを知るために、\((\text{左辺}) = 0\) が解をもつかを調べます。
\((\text{左辺}) = 0\) が因数分解などでそのまま解ける場合は解き、判断できない場合は判別式を調べます。
例題は、そのまま因数分解できそうです。
\(x^2 − x − 2 = 0\) を解くと、
\((x + 1)(x − 2) = 0\)
\(x = 2, −1\)
\(x^2 − x − 2 = 0\) は、\(2\) つの解 \(2\), \(−1\) をもつことがわかりました。
あとは、先ほど紹介した公式に当てはめて解の範囲を求めます。
\(x^2 − x − 2 > 0\) すなわち \((x + 1)(x − 2) > 0\) の解の範囲は
\(x > 2, x < − 1\)
となります。
不等号の向きと解の範囲の関係でいつも混乱してしまう人は、問題を解くたびにグラフを書いてみましょう。そうすれば視覚的に答えが導けます。
例題では、 \(x^2 − x − 2 > 0\) を満たす \(x\) の解の範囲は以下のように図示できますね。
特に最初のうちや、複雑な二次不等式を解くときは、グラフも書いてみることをオススメします！
二次不等式の計算問題
では、さっそく二次不等式の簡単な問題を解いてみましょう。
計算問題①「因数分解で解く」
次の二次不等式の解の範囲を求めよ。
\(3x^2 + 5x − 2 \geq 0\)
まずは、\(x\) の解の範囲の端となる値を求めます。今回の問題では左辺を因数分解できそうです。
また、不等号の記号が「\(\geq\)」なので、両端の \(x\) の値も解の範囲に含まれることに留意しましょう。
\(3x^2 + 5x − 2 \geq 0\) の左辺を因数分解すると、
\((3x − 1)(x + 2) \geq 0\)
\((\text{左辺}) = 0\) のとき、\(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) , \(−2\)
グラフに表すと、\(y = 3x^2 + 5x − 2 \geq 0\) となる範囲は以下のようになる。
したがって、求める解の範囲は
\(x \leq −2\), \(\displaystyle x \geq \frac{1}{3}\)
答え： \(x \leq − 2, \displaystyle x \geq \frac{1}{3}\)
計算問題②「判別式で解く1」
次の二次不等式の解の範囲を求めよ。
\(2x^2 − 5x + 1 < 0\)
この問題は因数分解できません。
そこで、まず \(2x^2 − 5x + 1 = 0\) が解をもつかどうかを判別式で調べます。
解をもつことがわかったら、解の公式で \(x\) の解の範囲の端となる値を求めましょう。
\(2x^2 − 5x + 1 = 0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{align} D &= (− 5)^2 − 4 \cdot 2 \cdot 1 \\ &= 25 − 8 \\ &= 17 > 0 \end{align}\)
\(D > 0\) より、\(2x^2 − 5x + 1 = 0\) は \(2\) つの実数解をもつ。
解の公式より、
\(\begin{align} x &= \frac{−(−5) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4} \end{align}\)
\(y = 2x^2 − 5x + 1\) とおくと、
\(y = 2x^2 − 5x + 1 < 0\) となる \(x\) の値の範囲は、以下のようになる。
したがって、求める解の範囲は
\(\displaystyle \frac{5 − \sqrt{17}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{17}}{4} \)
答え： \(\displaystyle \frac{5 − \sqrt{17}}{4} < x < \frac{5 + \sqrt{17}}{4}\)
計算問題③「判別式で解く2」
次の二次不等式の解の範囲を求めよ。
\(3x^2 − 4x + 2 < 0\)
この問題も左辺が因数分解できないので、まずは \(\text{(左辺)} = 0\) の判別式を計算します。
\(\text{(左辺)} = 0\) の解がある場合とない場合で、不等式の解の範囲は大きく異なるので、慎重に考えていきましょう！
\(3x^2 − 4x + 2 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(\begin{align} D &= (−4)^2 − 4 \cdot 3 \cdot 2 \\ &= 16 − 24 \\ &= −8 < 0 \end{align}\)
\(D < 0\) より、\(3x^2 − 4x + 2 = 0\) は実数解をもたない。
\(y = 3x^2 − 4x + 2\) とおくと、すべての \(x\) の範囲でグラフが \(x\) 軸より上にあるため、\(y = 3x^2 − 4x + 2 < 0\) となる \(x\) は存在しない。
したがって、 \(3x^2 − 4x + 2 < 0\) を満たす \(x\) は存在しない。
答え： 解なし
計算問題④「判別式で解く3」
次の二次不等式の解の範囲を求めよ。
\(− 6x^2 − 5x − 3 < 0\)
\(x^2\) の項がマイナスの場合は、プラスに直してから考えた方が楽です。
この問題も左辺が因数分解できないので、計算問題③と同様に考えていきましょう。
\(−6x^2 − 5x − 3 < 0\) より、
\(6x^2 + 5x + 3 > 0\)
\(6x^2 + 5x + 3 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(\begin{align} D &= 5^2 − 4 \cdot 6 \cdot 3 \\ &= 25 − 72 \\ &= −47 ＜ 0 \end{align}\)
\(D < 0\) より、実数解をもたない。
\(y = 6x^2 + 5x + 3\) とおくと、すべての \(x\) の範囲でグラフが \(x\) 軸より上にあるため、\(y = 6x^2 + 5x + 3 > 0\) は \(x\) がどんな値であっても成り立つ。
したがって、\(6x^2 + 5x + 3 > 0\) を満たす \(x\) の範囲はすべての実数である。
答え： すべての実数
二次不等式の応用問題
最後に、少し難易度の高い問題を解いてみましょう！
応用問題①「定数項 k の範囲を求める」
\(k\) を定数とする。次の二次不等式が解をもたないような \(k\) の範囲を求めよ。
\(x^2 − 6x + k < 0\)
二次不等式 \(x^2 − 6x + k < 0\) が解をもたないということは、関数 \(y = x^2 − 6x + k\) が \(x\) 軸と接する、または交わらないと考えることができます。
そうなるためには、\(x^2 − 6x + k = 0\) の判別式が \(D \leq 0\) である必要がありますね。
判別式と不等号の関係性がよくわからない人は、まずグラフを書いてどのような状態であればよいかを想像するようにしましょう。
\(x^2 − 6x + k < 0\) が解をもたないためには、 \(y = x^2 − 6x + k\) が \(x\) 軸と接する、または交わらなければよい。
\(x^2 − 6x + k = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(\begin{align} D &= (−6)^2 − 4 \cdot 1 \cdot k \\ &= 36 − 4k \\ &= 4(9 − k) \end{align}\)
\(D \leq 0\) になればよいので、
\(4(9 − k) \leq 0\)
\(9 − k \leq 0\)
\(9 \leq k\)
答え： \(9 \leq k\)
応用問題②「係数 k の範囲を求める」
\(k\) を定数とする。次の二次不等式の解がすべての実数となるような \(k\) の範囲を求めよ。
\(2kx^2 − 5x + 2 \geq 0\)
この問題では、\(x^2\) の係数に未知数 \(k\) が含まれています。
\(x^2\) の係数の正負によってグラフの形が変わるので、場合分けが必要です。
それぞれグラフを書いてみて、確認していきましょう。
\(y = 2kx^2 − 5x + 2\) とおき、グラフと \(x\) 軸との交点について考える。
(i) \(k > 0\) のとき
\(x^2\) の係数が正となるから、グラフは下に凸となる。
このとき、\(2kx^2 − 5x + 2 \geq 0\) の解がすべての実数となるためには、\(y = 2kx^2 − 5x + 2\) が \(x\) 軸と接するか、交わらなければよい。
\(2kx^2 − 5x + 2 = 0\) の判別式を \(D\) とおくと、
\(\begin{align} D &= (−5)^2 − 4 \cdot 2k \cdot 2 \\ &= 25 − 16k \end{align}\)
\(D \leq 0\) となればよいから、
\(25 − 16k \leq 0\)
\(−16k \leq −25\)
よって \(\displaystyle k \geq \frac{25}{16}\)
(ii) \(k = 0\) のとき
\(2kx^2 − 5x + 2\) に \(k = 0\) を代入すると、
\(2 \cdot 0 \cdot x^2 − 5x + 2 = −5x + 2\)
不等式は \(−5x + 2 \geq 0\) となる。
これを解くと、
\(−5x + 2 \geq 0\)
\(−5x \geq −2\)
\(\displaystyle x \leq \frac{2}{5}\)
したがって、\(k = 0\) のとき解の範囲は \(\displaystyle x \leq \frac{2}{5}\) となり、すべての実数とはならない。
よって不適。
(iii) \(k < 0\) のとき
\(x^2\) の係数が負となるから、グラフは上に凸となる。
このとき、\(k\) がどのような値であってもグラフは下に伸びるため、どこかで \(x\) 軸と交わり、\(y < 0\) となる部分が存在する。
したがって、 \(k < 0\) のとき、すべての実数が解となることはない。
よって不適。
(i) ~ (iii) より、求める \(k\) の範囲は \(\displaystyle k \geq \frac{25}{16}\)
答え： \(\displaystyle k \geq \frac{25}{16}\)
以上で、すべての問題は終わりです！
二次不等式は、グラフに変換して考えるとわかりやすかったですね。
二次関数のグラフや判別式への理解を深めるのにも重要な単元なので、しっかりイメージをつかんでおきましょう。