二次関数とは?平方完成の公式や最大値・最小値、決定の問題

この記事では、「二次関数」についてわかりやすく解説していきます。

最大値・最小値の求め方、決定・場合分けなどの問題の解き方も詳しく説明していくので、ぜひマスターしてくださいね!

 

二次関数とは?

二次関数とは、\(y\) が \(x\) の二次式で表せる関数のことです。

一般的に、任意の定数 \(a, b, c\) \((a \neq 0)\) を使って「\(\color{red}{y = ax^2 + bx + c}\)」と表わせます。

 

二次関数の向きとかたち

二次関数のグラフは、左右対称な放物線になるという特徴があります。

放物線の向きは、\(x^2\) の係数 \(a\) の正負によって決まります

放物線のアーチが下にくる場合を「下に凸」、上にくる場合を「上に凸」と表現します。

 

また、放物線の開き具合も \(a\) の大きさによって決まります。

\(a\) が大きくなるほど、スリムなグラフになりますね。

そのため、\(y = 2x^2\) でも \(y = 2x^2 + x + 3\) でも放物線のかたちは同じで、平行移動されただけと考えることができます。

補足

なお、「二次関数のグラフの書き方」については以下の記事で詳しく説明しています。

二次関数のグラフの書き方と、頂点・軸・切片の求め方

 

二次関数の平行移動の公式

一般的に、二次関数の平行移動は次のように表せます。

二次関数の平行移動

\(y = ax^2\) の二次関数のグラフで、\(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動したグラフは、

\begin{align}\color{red}{y = a(x − p)^2 + q}\end{align}

補足

「グラフの平行移動」については、以下の記事で詳しく説明しています。

平行移動とは?グラフ(二次関数など)の平行移動の公式と作図

 

二次関数の頂点・軸の公式(平方完成)

放物線のアーチのてっぺんを「頂点」、てっぺんを通る中心軸のことを「」と呼びます。

頂点と軸は、関数を平方完成すると次のように求めることができます。

二次関数の頂点と軸

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) を \(y = a(x − \color{red}{p})^2 + \color{red}{q}\) と平方完成できるとき、

\(y = ax^2 + bx + c\) の頂点の座標および軸の方程式は次のとおりとなる。

  • 頂点の座標: \(\color{red}{(p , q)}\)
  • 軸の方程式: \(\color{red}{x = p}\)

補足

「平方完成」について忘れてしまった人は、以下の記事で復習しておきましょう!

平方完成とは?公式ややり方を実際の問題でわかりやすく解説!

 

二次関数の切片

また、放物線が \(y\) 軸と交わる点を「切片」といいます。

これは一次関数などと同じで、\(x = 0\) のときの座標ですね。

二次関数の切片

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) の切片の座標は、

\begin{align}\color{red}{(0, c)}\end{align}

 

二次関数の傾きと変化の割合

一次関数 \(y = ax + b\) では \((\text{傾き}) = (\text{変化の割合}) = a\) と習いましたが、二次関数ではどうでしょうか?

二次関数の傾きと変化の割合は、グラフ上の点の位置によって変化します。

つまり、二次関数における傾きや変化の割合は係数 \(a\) とはまったく関係ないので注意しましょう。

 

以上が二次関数の特徴でした。

次の章から、二次関数のさまざまな問題の解き方を説明していきます!

 

二次関数の基本問題

まずは、二次関数の基本問題を解いていきましょう。

基本問題①「座標の求め方」

基本問題①

\(f(x) = x^2 − 4x + 3\) において、\(f(−2)\) を求めよ。

 

補足

ある関数のことを、関数 Function の頭文字をとって「\(f(□)\)」と表します。

\(x\) についての関数なら \(f(x)\)、\(z\) についての関数なら \(f(z)\) ですね。

横軸に \(x\)、縦軸に \(f(x)\) の値をとるグラフを「\(y = f(x)\)」と表現できます。

\(f(−2)\) とは、関数 \(f(x)\) に \(x = −2\) を代入したときの値ですね。

解答

 

\(\begin{align} f(−2) &= (−2)^2 − 4 \cdot (−2) + 3 \\ &= 4 + 8 + 3 \\ &= 15 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{f(−2) = 15}\)

 

基本問題②「定義域・値域の求め方」

基本問題②

次の関数の値域を求めよ。

\(y = 2x^2 − 4x + 5\) \((−1 < x \leq 4)\)

 

二次関数は放物線なので、定義域の両端が値域の両端になるとは限りません。

定義域や値域を求める問題では、頂点がどこにあるかを必ず把握しましょう。

Tips

グラフを書くとわかりやすいです。

その際、範囲の「\(<\)(より大きい)」を黒丸、「\(\leq\)(以上)」を白丸にするなど、明確に書き分けましょう。

解答

 

\(\begin{align} y &= 2x^2 − 4x + 5 \\ &= 2(x − 1)^2 − 2 + 5 \\ &= 2(x − 1)^2 + 3 \end{align}\)

 

よって、頂点 \((1, 3)\)、下に凸の放物線である。

 

\(x = −1\) のとき、\(y = 2(−1 − 1)^2 + 3 = 11\)

\(x = 4\) のとき、\(y = 2(4 − 1)^2 + 3 = 21\)

 

\(−1 < x \leq 4\) の範囲でグラフを書くと、以下のようになる。

 

よって、

\(x = 4\) のとき 最大値 \(21\)、

\(x = 1\) のとき 最小値 \(3\) をとる。

 

したがって、

求める値域は \(3 \leq y \leq 21\)

 

答え: \(\color{red}{3 \leq y \leq 21}\)

 

二次関数の最大値・最小値の問題

二次関数の最大値・最小値を求める問題では、「頂点を調べること」「グラフを書くこと」が最大のポイントです。

複雑な条件を考えるときでも、グラフのかたちがイメージできていれば対処できます。

 

基本的な問題と、場合分けが必要な問題を見てみましょう。

練習問題①「場合分けなし」

練習問題

次の関数の最大値および最小値を求めよ。

\(y = −x^2 + 6x − 2\)

 

定義域がないので、関数全体を考えます。

この場合は、頂点と放物線の向きを求めるだけで最大値・最小値がわかりますね。

解答

 

\(\begin{align} y &= −x^2 + 6x − 2 \\ &= −(x − 3)^2 + 9 − 2 \\ &= −(x − 3)^2 + 7 \end{align}\)

 

よって、頂点 \((3, 7)\)、上に凸の放物線である。

 

よって、\(x = 3\) のとき 最大値 \(7\) をとり、最小値はない。

 

答え: 最大値 \(\color{red}{7}\)、最小値なし

 

練習問題②「場合分けあり」

応用問題

\(a\) が定数、\(f(x) = x^2 − 2ax + 4\) \((1 \leq x \leq 3)\) の最小値を \(m\) とするとき、\(m\) を \(a\) の式で表せ。

 

関数や定義域に文字が含まれるときは、場合分けが必要です。

この二次関数は軸が \(x = a\) なので、軸の位置によって最小値が異なります。

定義域との関係から、次の \(3\) 通りに場合分けできます。

解答を書き始める前に、このように簡単なグラフを書いて考えるとわかりやすいですよ。

Tips

範囲の境目で、\(\leq\) と \(<\) のどちらを使うかで悩むことがありますね。

基本的に、範囲の抜けもれがなければどちらでも構いません。

また、できれば範囲のダブりもない方がよいでしょう。

  • \(a < 1\), \(1 \leq a \leq 3\), \(3 < a\) (OK!)
  • \(a \leq 1\), \(1 < a < 3\), \(3 \leq a\) (OK!)
  • \(a \leq 1\), \(1 < a \leq 3\), \(3 < a\) (OK!)
  • \(a < 1\), \(1 \leq a < 3\), \(3 \leq a\) (OK!)
  • \(a < 1\), \(1 < a \leq 3\), \(3 < a\) (×: \(a = 1\) が抜けている)
  • \(a < 1\), \(1 \leq a \leq 3\), \(3 \leq a\) (△: \(a = 3\) がダブっている)
解答

 

\(\begin{align} f(x) &= x^2 − 2ax + 4 \\ &= (x − a)^2 − a^2 + 4 \end{align}\)

より、

軸 \(x = a\), 頂点 \((a, −a^2 + 4)\)

 

\(a\) の範囲によって、次の \(3\) 通りに場合分けできる。

 

(i) \(a < 1\) のとき

\(x = 1\) で最小値をとる。

\(\begin{align} m &= f(1) \\ &= 1 ^2 − 2a \cdot 1 + 4 \\ &= −2a + 5 \end{align}\)

 

(ii) \(1 \leq a \leq 3\) のとき

頂点で最小値をとる。

\(\begin{align} m &= f(a) \\ &= −a^2 + 4 \end{align}\)

 

(iii) \(3 < a\) のとき

\(x = 3\) で最小値をとる。

\(\begin{align} m &= f(3) \\ &= 3^2 − 2a \cdot 3 + 4 \\ &= −6a + 13 \end{align}\)

 

(i) ~ (iii) より、

\(a < 1\) のとき \(m = −2a + 5\)

\(1 \leq a \leq 3\) のとき \(m = −a^2 + 4\)

\(3 < a\) のとき \(m = −6a + 13\)

となる。

 

答え:

\(\color{red}{m = \cases{−2a + 5 & ($a < 1$) \cr −a^2 + 4 & ($1 \leq a \leq 3$) \cr −6a + 13 & ($3 < a$)}}\)

 

二次関数の決定の問題

与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。

二次関数の決定の問題は、与えられた条件に応じて解き方を変えましょう。

Tips
  • 頂点 \((p, q)\) または軸 \(x = p\) が与えられた場合
    → \(\color{red}{y = a(x − p)^2 + q}\) とおく!
  • 関数が通る \(3\) 点が与えられた場合
    → \(\color{red}{y = ax^2 + bx + c}\) とおく!

あとは、連立方程式のように未知の係数を求めていくだけです。

 

練習問題①「頂点、ある 1 点を通る二次関数」

練習問題①

点 \((1, 3)\) を頂点とし、点 \((4, −6)\) を通る二次関数を求めよ。

 

頂点の座標が与えられているので、まずは求める二次関数を \(y = a(x − p)^2 + q\) とおきましょう。

解答

 

頂点が \((1, 3)\) であるから、

求める二次関数は

\(y = a(x − 1)^2 + 3\)

とおける。

 

点 \((4, −6)\) を通るので、

\(−6 = a(4 − 1)^2 + 3\)

\(−6 = 9a + 3\)

\(9a = −9\)

\(a = −1\)

 

よって、求める二次関数は

\(\begin{align} y &= −(x − 1)^2 + 3 \\ &= −x^2 + 2x + 2 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{y = −x^2 + 2x + 2}\)

 

練習問題②「3 点を通る二次関数」

練習問題②

\(3\) 点 \((1, −6)\), \((−2, 9)\), \((3, 4)\) を通る二次関数を求めよ。

 

関数が通る \(3\) 点が与えられているので、求める二次関数を \(y = ax^2 + bx + c\) とおきましょう。

解答

 

求める二次関数を

\(y = ax^2 + bx + c\)

とおく。

 

\((1, −6)\), \((−2, 9)\), \((3, 4)\) をそれぞれ代入すると、

\(\left\{\begin{array}{l} −6 = a + b + c \text{…①}\\ 9 = 4a − 2b + c \text{…②}\\ 4 = 9a + 3b + c \text{…③}\end{array}\right.\)

 

② − ①より、

\(15 = 3a − 3b\)

\(5 = a − b\) …④

 

③ − ①より、

\(10 = 8a + 2b\)

\(5 = 4a + b\) …⑤

 

④ + ⑤より、

\(10 = 5a\)

\(a = 2\)

 

\(a = 2\) を④に代入して、

\(5 = 2 − b\)

\(b = −3\)

 

\(a = 2\), \(b = −3\) を①に代入して、

\(−6 = 2 − 3 + c\)

\(c = −5\)

よって、求める二次関数は、

\(y = 2x^2 − 3x − 5\)

 

答え: \(\color{red}{y = 2x^2 − 3x − 5}\)

 

二次関数のグラフと判別式

二次関数のグラフと、二次方程式の判別式 \(D\) には次のような関係があります。

二次関数のグラフと判別式 D

二次関数 \(y = ax^2 + bx + c\) と \(x\) 軸 \((y = 0)\) との共有点の個数は、二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の実数解の個数に等しい。

\(ax^2 + bx + c = 0\) の判別式を \(D\) とすると、

  • \(D > 0\) のとき
    異なる \(2\) つの共有点をもつ
  • \(D = 0\) のとき
    \(1\) つの共有点をもつ(二次関数は \(x\) 軸と接する)
  • \(D < 0\) のとき
    共有点をもたない(\(0\) 個)

 

補足

「二次関数のグラフと判別式 \(D\) の問題」については、以下の記事で詳しく解説しています。

判別式 D とは?D や 4 分の D の公式、グラフと解の範囲

 

以上で二次関数の解説は終わりです。

二次関数は高校数学の中でも重要な内容なので、いろいろな問題に対応できるようにしておきましょう!

2 COMMENTS

Mu

コメントありがとうございます。
わかりやすかったとのこと、なによりです!
今後ともどうぞ当サイトをよろしくお願いいたします。

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