集合・命題・証明に関するさまざまな公式・証明方法を解説した記事をまとめていきます。
気になる公式や問題の解き方があれば、ぜひ詳細記事を参考にしてくださいね！
集合
集合とは、何らかの条件によって明確にグループ分けできる「もの」の集まりのことです。
集合に関する基本用語や記号の意味は以下の記事で学習しましょう。
集合とは？数学記号の読み方や意味、計算問題の解き方
要素の個数に関する公式
補集合や、和集合の要素の個数を求める公式があります。
集合の要素の個数の求め方！補集合や和集合の公式
ドモルガンの法則
ドモルガンの法則とは、複数の集合の「和集合」および「共通部分」の補集合に関して成り立つ規則性です。
ドモルガンの法則とは？ベン図や例題でわかりやすく解説！
命題
「命題」とは、正しいか正しくないかが明確に決まる文章や数式のことです。
命題に関する重要な用語や真偽を判定する方法は次の記事で説明しています。
命題とは？数学用語（対偶、逆、裏、真偽）の意味や証明問題
必要条件・十分条件
必要条件・十分条件とは、ある命題をなす \(2\) つの条件（仮定と結論）が、お互いにとってどのような関係にあるのかを示す概念です。
集合と論理の問題や証明問題を解くために、必ず理解しておきましょう。
必要条件・十分条件とは？意味や違い、覚え方と見分け方
いろいろな証明方法
ある命題が正しいこと（または誤っていること）を論理的に示す過程を「証明」といいます。
ここでは、高校数学でよく利用される以下の証明方法をまとめていきます。
- 直接証明
- 対偶証明法
- 背理法
- 数学的帰納法
- 無限降下法（発展的）
直接証明
命題「\(p \Rightarrow q\)」の真偽を直接示す方法です。
単純な命題であれば、条件文を文字式で表現したり、式変形したりすることで直接証明できます。
また、偽であることを示す際は、反例（命題を満たさない具体的な例）を \(1\) つ挙げることが一般的です。
一方、直接証明するのが難しい命題も多く、その場合は以降の間接証明法を利用します。
対偶証明法
対偶証明法とは、命題の対偶「\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)」 の真偽を示すことで、間接的に命題「\(p \Rightarrow q\)」の真偽を示す方法です。
元の命題「\(p \Rightarrow q\)」の対偶「\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)」が成り立つことを示す
↓
元の命題も成り立つことが示される
命題とその対偶の真偽が同じであることを利用した証明方法です。
元の命題の条件または結論が数式で表しにくく、直接証明が難しいときに利用します。
直接証明法、対偶証明法の問題は以下の記事で解説しています。
命題とは？数学用語（対偶、逆、裏、真偽）の意味や証明問題
背理法
背理法とは、命題の否定が正しいと仮定すると矛盾が生じることを示し、もとの命題が成り立つことを導く証明方法です。
命題が成り立たないと仮定する
（元の命題 \(P\)「\(p \Rightarrow q\)」の否定 \(\overline{P}\)「\(p \Rightarrow \overline{q}\)」が正しいと仮定する）
↓
仮定に矛盾があることを示す
↓
仮定が誤っている、つまり、命題が成り立つことが示される
背理法は、次のような問題で利用できることが多いです。
- 断定型の問題（「ならば」「\(\Rightarrow\)」を含まないもの）
- 無理数であること or 有理数であることを示す問題
- 「少なくとも \(1\) つは〜」というフレーズを含む問題
詳しくは以下の記事で詳しく解説しています。
背理法とは？証明のやり方を例題でわかりやすく解説
数学的帰納法
数学的帰納法とは、自然数の性質を利用して、ある命題がすべての自然数において成り立つことを証明する方法です。
以下が成り立つことを示せば、自然数 \(n\) についての命題 \(P\) がすべての について成り立つといえる。
[1] \(n = 1\) のとき \(P\) が成り立つ。 [2] \(n = k\)（\(k\) は自然数）のとき が成り立つと仮定すると、\(n = k + 1\) のときにも \(P\) が成り立つ。自然数に関する命題を証明するときに頻出の証明法です。
詳しくは以下の記事で解説しています。
数学的帰納法とは？証明問題の解き方をわかりやすく解説！
【発展】無限降下法
無限降下法は、自然数（またはその部分集合）には必ず最小の元（要素）が存在するという性質を利用した証明方法です。
背理法（命題の否定の矛盾を示す）と数学的帰納法（自然数の性質を利用する）を組み合わせた証明の流れが特徴的です。
命題の否定 \(\overline{P}\) を満たす自然数 \(n_1\) があると仮定する。
↓
\(n_1\) より小さい \(n_2\) でも命題を満たすものを示す。
↓
これを繰り返すと、命題を満たす自然数の無限列 \(n_1 > n_2 > n_3 \cdots\) が得られるが、自然数には最小の元 \((= 1)\) があるので、仮定に矛盾があることが示される。
↓
仮定が誤っている、つまり、命題が成り立つことが示される。
無限降下法は以下のような問題で利用できます。
- 無理数であること or 有理数であることを示す問題
- 不定方程式に関する問題
- フェルマーの最終定理 \((n = 4)\)
発展的な証明方法ですが、難関大入試を目指す人は一通り理解を深めておきましょう。
以上が集合・命題・証明に関するまとめでした！
この分野への理解を深めることは、数学的な論理思考能力UPに直結します。
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