高次方程式とは?因数分解、因数定理による解き方と計算のコツ

この記事では、「高次方程式」について、因数分解や因数定理を利用した解き方と計算のコツを解説していきます。

わかりやすく紹介していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

高次方程式とは?

高次方程式とは、次数が \(\bf{3}\) 次以上の方程式のことです。

一般に、\(n\) 次の多項式 \(P(x)\) を用いて「\(P(x) = 0\)」の形で表せる方程式を「\(n\) 次方程式」といいます。

三次方程式以上が、高次方程式と見なされるということですね。

 

高次方程式の解き方

高次方程式には、「因数分解」による解き方と、「因数定理」を利用する解き方の \(2\) 通りがあります。

それぞれ、例題を通して解説していきます。

【解き方①】因数分解の公式

まずは因数分解の公式を用いた解き方です。

高次方程式の問題では、三次方程式の問題が出題されることが圧倒的に多いです。

そして、三次式の問題は因数分解の公式を使って解けるケースが多いので、 三次式の因数分解の公式は必ず覚えておきましょう。

三次式の因数分解

  • \(\color{red}{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)}\)
  • \(\color{red}{a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)}\)
  • \(\color{red}{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3}\)
  • \(\color{red}{a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3 = (a − b)^3}\)
因数分解とは?公式や計算のやり方、問題の解き方

一般に、係数が実数である三次方程式の解は、「\(3\) つの実数解」または「\(1\) つの実数解と \(2\) つの虚数解」となります。

学校では高次方程式の前に虚数の概念を習うので、虚数解も解に含めることが一般的です。

補足

「虚数」については以下の記事で説明しています。

複素数とは?公式や i の 2 乗の意味、計算問題の解き方

 

実際にこれらの公式を使って、例題を解いてみましょう。

例題①

\(x^3 − 8 = 0\) を解きなさい。

 

公式「\(a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2)\)」に当てはめられますね。

解答

 

\(x^3 − 2^3\)

\(= (x − 2)(x^2 + 2x + 2^2)\)

\(= (x − 2)(x^2 + 2x + 4)\)

後ろの括弧の中はこれ以上因数分解できないので、二次方程式の解の公式を使って答えを出しましょう。

(解答続き)

 

\((x − 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\) より

\(x = 2\), \(x^2 + 2x + 4 = 0\)

 

\(x^2 + 2x + 4 = 0\) において、解の公式より

\(\begin{align} x &= \frac{−1 \pm \sqrt{1^2 − 1 \cdot 4}}{1} \\ &= −1 \pm \sqrt{1 − 4} \\ &= −1 \pm \sqrt{−3} \\ &= −1 \pm \sqrt{3} i \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{x = 2, −1 \pm \sqrt{3} i}\)

補足

「解の公式」を利用した二次方程式の解き方は以下の記事で説明しています。

二次方程式とは?解き方(因数分解、解の公式など)や計算問題

 

もう \(1\) 問見てみましょう。

例題②

\(8x^3 − 12x^2 + 6x − 1 = 0\)

 

係数がついていても、各項を「公式に当てはまるように分解できないか?」と考えてみます。

三次の項と定数項が何かの \(3\) 乗になっている場合は、公式「\(a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 + b^3 = (a \pm b)^3\)」に当てはめられないかを必ずチェックしましょう。

解答

 

\(8x^3 − 12x^2 + 6x − 1 = 0\)

\((2x)^3 − 3(2x)^2 \cdot 1 + 3(2x) \cdot 1^2 − 1^3 = 0\)

\((2x − 1)^3 = 0\)

よって、\(\displaystyle x = \frac{1}{2}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle x = \frac{1}{2}}\)

 

【解き方②】因数定理

次に、「因数定理」を用いた高次方程式の解き方です。

因数定理

整式 \(P(x)\) が \((x − a)\) を因数にもつ  \(\iff P(a) = 0\)

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

高次方程式を解くためには因数分解が必要ですが、いつも公式に当てはまるとは限りません。

因数定理は、因数分解の公式が使えない場合でも最初の因数を見つけることができます。

 

それでは、因数定理を使って例題を解いてみましょう。

例題

\(x^3 − 3x^2 − 8x − 4 = 0\) を解きなさい。

 

定数項が \(−4\) のため、何かの \(3\) 乗とは考えにくく、因数分解の公式には当てはまらなそうです。

このような場合に因数定理を利用します。

\(P(x) = x^3 − 3x^2 − 8x − 4\) とおき、\(P(x) = 0\) になる \(x\) の値を考えていきます。

試しに、\(x\) に \(−1\) を代入してみましょう。

解答

 

\(\begin{align} P(−1) &= (−1)^3 − 3(−1)^2 − 8(−1) − 4 \\ &= −1 − 3 + 8 − 4 = 0 \end{align}\)

よって、\(P(x)\) は \((x + 1)\) を因数にもつことがわかります。

\(P(x)\) を \((x + 1)\) で割り算してみましょう。

(解答続き)

 

\(P(x)\) を \((x + 1)\) でくくると、

 

 

\(P(x) = (x + 1)(x^2 − 4x − 4) = 0\)

\(x + 1 = 0\) より \(x = −1\)

 

また、\(x^2 − 4x − 4 = 0\) において、解の公式より

\(\begin{align} x &= \frac{2 \pm \sqrt{(−2)^2 − 1 \cdot (−4)}}{1} \\ &= 2 \pm \sqrt{4 + 4} \\ &= 2 \pm 2\sqrt{2} \end{align}\)

 

よって、\(x = −1, 2 \pm 2\sqrt{2}\)

 

答え: \(\color{red}{x = −1, 2 \pm 2\sqrt{2}}\)

因数の見つけ方や整式の割り算に関するコツは、次の章で詳しく説明していきます!

 

高次方程式の計算のコツ

高次方程式の計算のコツを紹介していきます。

因数定理のコツ

因数定理を利用する場合、途中計算において手間を減らせるコツがいくつかあります。

以下の記事で詳しく説明しているので、ぜひ確認しておきましょう!

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方 組立除法とは?やり方や原理をわかりやすく解説!

 

文字の置き換え

最後に、文字の置き換えを利用した計算のコツを紹介します。

\(4\) 次以上の高次方程式など、一見因数分解できない式に見えても、文字の置き換えで因数分解できることがあります。

例を見てみましょう。

例題

\(x^4 − 2x^2 + 1 = 0\) を解きなさい。

 

「\(ax^4 + bx^2 + c = 0\)」のようなかたちの式を「複二次式」といいます。

複二次式を見つけたら、文字を置き換えて因数分解しましょう。

四次の項が何かの二次の項になるように文字を置き換えます。

ここでは、\(x^2 = X\) と置き換えられますね。

Tips

似ている文字だと混乱するという人は、 \(x^2 = A\) などまったく違う文字で置き換えてもいいですね。

解答

 

\(x^2 = X\) と置くと

\(x^4 − 2x^2 + 1 = 0\)

\(X^2 − 2X + 1 = 0\)

 

\(X^2 − 2X + 1 = 0\) を解くと、

\((X − 1)^2 = 0\)

\(X = 1\)

このように、文字の置き換えによってスッキリ因数分解できました。

\(X\) は自分で勝手に作った文字なので、最後に置き換えた文字を必ず元に戻します

(解答続き)

 

\(X = x^2\) より

\(x^2 = 1\)

よって、\(x = \pm 1\)

 

答え: \(\color{red}{x = \pm 1}\)

このように、文字を置き換えて次数を減らすことで簡単に因数分解でき、方程式の答えが求まります。

 

高次方程式の練習問題

それでは、高次方程式の練習問題を解いてみましょう。

練習問題①「三次方程式を解く」

練習問題①

\(27x^3 + 8 = 0\) を解きなさい。

 

三次式の因数分解の公式が利用できそうですね。

解答

 

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2)\) を利用して、

\(27x^3 + 8 = 0\)

\((3x + 2) \{(3x)^2 − 3x \cdot 2 + 2^2\} = 0\)

\((3x + 2)(9x^2 − 6x + 4) = 0\)

 

\(3x + 2 = 0\) より \(\displaystyle x = −\frac{2}{3}\)

 

また、 \(9x^2 − 6x + 4 = 0\) において、解の公式より

\(\begin{align} x &= \frac{3 \pm \sqrt{9 − 9 \cdot 4}}{9} \\ &= \frac{3 \pm \sqrt{−27}}{9} \\ &= \frac{3 \pm 3\sqrt{−3}}{9} \\ &= \frac{3 \pm 3\sqrt{3} i}{9} \\ &= \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{3} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle x = −\frac{2}{3}, \displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{3}\)

 

練習問題②「四次方程式を解く」

練習問題②

\(x^4 − 5x^2 + 6 = 0\) を解きなさい。

 

\(ax^4 + bx^2 + c = 0\) のような形の複二次式となっていますね!

文字を置き換えて因数分解しましょう。

解答

 

\(x^2 = X\) とおくと、

\(x^4 − 5x^2 + 6 = X^2 − 5X + 6\) となる。

 

\(X^2 − 5X + 6 = 0\) を解くと、

\((X − 2)(X − 3) = 0\)

\(X = 2\), \(3\)

 

置き換えた文字を元に戻すと、\(X = x^2\) より

\(x^2 = 2\), \(3\)

\(x = \pm \sqrt{2}\), \(\pm \sqrt{3}\)

 

答え: \(x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3}\)

 

練習問題③「三次方程式を解く」

練習問題③

\(x^3 − 3x^2 − 6x + 8 = 0\) を解きなさい。

 

一見因数分解の公式が使えそうですが、二次の項、一次の項がうまく処理できません。

因数定理を使いましょう。

解答

 

 

\(P(x) = x^3 − 3x^2 − 6x + 8\) とおくと、

因数定理より

\(\begin{align} P(1) &= 1^3 − 3 \cdot 1^2 − 6 \cdot 1 + 8 \\ &= 1 − 3 − 6 + 8 = 0 \end{align}\)

 

よって、\(P(x)\) は \((x − 1)\) を因数にもつので、

 

 

\(\begin{align}P(x) &= (x − 1)(x^2 − 2x − 8) \\ &= (x − 1)(x + 2)(x − 4) \end{align}\)

 

\((x − 1)(x + 2)(x − 4) = 0\) より

\(x = 1\), \(−2\), \(4\)

 

答え: \(x = 1, −2, 4\)

以上で練習問題も終わりです!

 

高次方程式を解くためには、因数分解が必要になります。

様々な解き方・コツを身につけて、どんな問題にも対応できるようにしましょう!

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