指数関数とは？グラフや公式、微分積分をわかりやすく解説

\(a > 0, a \neq 1\) のとき、\(a\) を底とする \(x\) の指数関数は

\begin{align}\color{red}{y = a^x}\end{align}

指数関数を定義するとき、底 \(a\) には \(a > 0, a \neq 1\) という条件が必ずつきます。

「底の条件」については、以下の記事で詳しく説明しています。

真数条件・底の条件とは？なぜ必要かをわかりやすく解説！

1. 定義域は実数全体、値域は正の数全体 \((y > 0)\)
2. グラフは必ず点 \((0, 1), (1, a)\) を通る
3. \(x\) 軸を漸近線とする
4. 底 \(a\) の範囲によって、グラフの増加傾向が異なる

1. 1. \(1 < a\) のとき
      単調増加関数となる（\(x\) の値が増加すれば \(y\) の値も増加）
      \begin{align}\color{red}{p < q \iff a^p < a^q}\end{align}
   2. \(0 < a < 1\) のとき
      単調減少関数となる（\(x\) の値が増加すれば \(y\) の値は減少）
      \begin{align}\color{red}{p < q \iff a^p > a^q}\end{align}
      （なお、\(a > 0, a \neq 1\) で「\(p = q \iff a^p = a^q\)」が成り立つ）

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) で、\(r\), \(s\) が実数、\(m\), \(n\) が正の整数のとき、

1. \(\color{red}{a^r \times a^s = a^{r + s}}\)
2. \(\color{red}{\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r − s}}\)
3. \(\color{red}{(a^r)^s = a^{rs}}\)
4. \(\color{red}{(ab)^r = a^r b^r}\)
5. \(\color{red}{\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^r = \frac{b^r}{a^r}}\)
6. \(\color{red}{a^0 = 1}\)
7. \(\color{red}{\displaystyle a^{−r} = \frac{1}{a^r}}\)
8. \(\color{red}{\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}\)

\(a > 0\), \(b > 0\) で、\(m\), \(n\), \(p\) が正の整数のとき \((\sqrt[n]{a})^n = a\), \(\sqrt[n]{a} > 0\) であることから、次の性質が成り立つ。

1. \(\color{red}{\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}}\)
2. \(\color{red}{\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\displaystyle \frac{a}{b}}}\)
3. \(\color{red}{(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}}\)
4. \(\color{red}{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}}\)
5. \(\color{red}{\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}}\)

\(y = 3^{x − 1} + 2\) のグラフは、\(y = 3^x\) のグラフを \(x\) 軸方向、\(y\) 軸方向にどれだけ平行移動したグラフであるか。

また、グラフの概形を書け。

関数 \(y = 4^{x + 1} − 2^{x + 2} + 2\) \((x \leq 2)\) の最大値と最小値を求めよ。

方程式 \(4^x − 2^{x + 2} − 32 = 0\) を解け。

不等式 \(\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)^x − 9 \left( \frac{1}{2} \right)^{x − 1} + 32 \leq 0\) を解け。

\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき、

• \(\color{red}{(a^x)’ = a^x \log a}\)
• \(\color{red}{(e^x)’ = e^x}\)

微分公式の証明は以下の記事で説明しています。

微分公式の証明一覧！導関数の定義どおりの導出を解説

\(e\) は自然対数の底で、「ネイピア数」とも呼ばれます。

自然対数 ln、自然対数の底 e とは？定義や微分積分公式

次の関数を微分せよ。

(1) \(y = 2^x\)

(2) \(y = e^{2x + 1}\)

積分定数を \(C\) とおくと、\(a > 0\), \(a \neq 1\) のとき

• \(\color{red}{\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C}\)
• \(\color{red}{\displaystyle \int e^x dx = e^x + C}\)

次の不定積分を求めよ。

\(\displaystyle \int 2^x dx\)