有名曲線のグラフ・式一覧（カージオイド・サイクロイドなど）

ここで紹介する曲線は、数ある曲線のうちのほんの一部です。

また、式のうち、複雑なもの、およびその形式では表せないものは省略しています。

「媒介変数表示」「極方程式」については、個別の記事で詳しく説明しています。

媒介変数表示とは？グラフや計算（微分積分・ベクトル）

極方程式とは？グラフの書き方や面積・曲線の長さの公式

※ 準線 \(\ell\) が焦点 \(\mathrm{F}\) より右にある場合は \(\displaystyle r = \frac{l}{1 + e\cos\theta}\)、左にある場合は \(\displaystyle r = \frac{l}{1 − e\cos\theta}\) となります。

また、円だけは上記の定義に当てはまらないものの、便宜上、円の離心率を \(e = 0\) とおくと都合がよい場合があります。

定点 \(\mathrm{O}\) (中心) からの距離 \(a\) (半径) が一定となる点の軌跡。

• 方程式（直交座標）
  \(x^2 + y^2 = a^2\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = a\cos\theta\\ y = a\sin\theta\end{array}\right.\)
• 極方程式
  \(r = a\)
  （ただし、\(a > 0\)）

\(2\) 定点（焦点）からの距離の和が一定となる点の軌跡。

• 方程式（直交座標）
  1. \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) \((a > b > 0)\) （標準形、焦点が \(x\) 軸上）
  2. \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) \((b > a > 0)\) （焦点が \(y\) 軸上）

• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = a\cos\theta\\ y = b\sin\theta\end{array}\right.\)
• 極方程式
  \(\displaystyle r = \frac{l}{1 \pm e\cos\theta}\) (\(0 < e < 1\))
  （ただし、\(a > 0\), \(b > 0\), \(l > 0\)）

定点 \(\mathrm{F}\)（焦点）と、\(\mathrm{F}\) を通らない定直線 \(\ell\) からの距離が等しい点の軌跡。

• 方程式（直交座標）
  1. \(y^2 = 4px\) （標準形、焦点が \(x\) 軸上）
  2. \(x^2 = 4py\) （焦点が \(y\) 軸上）
• 媒介変数表示
  1. \(\left\{\begin{array}{l} x = pt^2\\ y = 2pt\end{array}\right.\)
  2. \(\left\{\begin{array}{l} x = 2pt\\ y = pt^2\end{array}\right.\)
• 極方程式
  \(\displaystyle r = \frac{l}{1 \pm e\cos\theta}\) \((e = 1)\)
  （ただし、\(p \neq 0\), \(l > 0\)）

\(2\) 定点（焦点）からの距離の差が一定となる点の軌跡。

• 方程式（直交座標）
  1. \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) （標準形、焦点が \(x\) 軸上）
  2. \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1\) （焦点が \(y\) 軸上）
• 媒介変数表示
  1. \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = \frac{a}{\cos\theta}\\ y = b\tan\theta\end{array}\right.\)
  2. \(\left\{\begin{array}{l} x = a\tan\theta\\ \displaystyle y = \frac{b}{\cos\theta}\end{array}\right.\)
• 極方程式
  \(\displaystyle r = \frac{l}{1 \pm e\cos\theta}\) \((1 < e)\)
  （ただし、\(a > 0\), \(b > 0\), \(l > 0\)）

動く円の半径を \(a \,(> 0)\) とおくと、

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} x = a(\theta − \sin\theta)\\ y = a(1 − \cos\theta)\end{array}\right.\end{align}

定円の半径を \(a \,(> 0)\)、動く円の半径を \(b \,(> 0)\) とおくと、

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = (a + b)\cos\theta − b\cos\frac{a + b}{b} \theta\\ \displaystyle y = (a + b)\sin\theta − b\sin\frac{a + b}{b} \theta\end{array}\right.\end{align}

\(a > 0\) のとき、

• 極方程式
  \(r = a(1 + \cos\theta)\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = a(1 + \cos\theta)\cos\theta\\ y = a(1 + \cos\theta)\sin\theta\end{array}\right.\)

定円の半径を \(a \,(> 0)\)、動く円の半径を \(b \,(> 0)\) とおくと、

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = (a − b)\cos\theta + b\cos\frac{b − a}{b} \theta\\ \displaystyle y = (a − b)\sin\theta + b\sin\frac{b − a}{b} \theta\end{array}\right.\end{align}

定円の半径を \(a \,(> 0)\) とおくと（動く円の半径は \(\displaystyle \frac{a}{4}\)）、

• 方程式（直交座標）
  \(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = a\cos^3\theta\\ y = a\sin^3\theta\end{array}\right.\)

定円の直径を \(b \,(> 0)\)、\(\mathrm{AP} = \mathrm{AQ} = a \,(> 0)\) とおくと、

• 極方程式
  \(r = a + b\cos⁡\theta\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = \cos\theta(a + b\cos\theta)\\ y = \sin\theta(a + b\cos\theta)\end{array}\right.\)
• 方程式（直交座標）
  \((x^2 + y^2 − bx)^2 = a^2(x^2 + y^2)\)

• 極方程式
  \(r = a\theta\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = a\theta\cos\theta\\ y = a\theta\sin\theta\end{array}\right.\)

（ただし、定数 \(a > 0\)）

• 極方程式
  \(r = ae^{b\theta}\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = ae^{b\theta}\cos\theta\\ y = ae^{b\theta}\sin\theta\end{array}\right.\)

（ただし、\(a \,(> 0)\), \(b\) は定数、\(e\) はネイピア数）

特に、渦巻の間隔に黄金比が関わっているものは「黄金螺旋」と呼ばれ、フィボナッチ数列が関係しています。

詳しくは以下の記事を参考にしてください。

フィボナッチ数列とは？数列一覧や一般項、黄金比の例

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} x = A\sin(a\theta+ \delta)\\ y = B\sin b\theta\end{array}\right.\end{align}

• • 振幅 : \(A, B > 0\)
  • 角周波数 : \(a, b\)
  • 位相差 : \(\delta\)

リール (中心円) の半径を \(a \,(> 0)\) とすると、

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} x = a(\cos\theta + \theta\sin\theta)\\ y = a(\sin\theta − \theta\cos\theta)\end{array}\right.\end{align}

• 極方程式
  \(r = \sin a\theta\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = \sin a\theta\cos\theta\\ y = \sin a\theta\sin\theta\end{array}\right.\)

（ただし、定数 \(a\) は有理数）

原点と焦点の距離を \(a \,(> 0)\) とおくと、

• 極方程式
  \(r^2 = 2a^2\cos2\theta\)
• 媒介変数表示
  \(\left\{\begin{array}{l} x = \sqrt{2}a\cos\theta\sqrt{\cos2\theta}\\ y = \sqrt{2}a\sin\theta\sqrt{\cos2\theta}\end{array}\right.\)
• 方程式（直交座標）
  \((x^2 + y^2)^2 = 2a^2(x^2 − y^2)\)