場合の数と確率を総まとめ！数aで習う公式・法則一覧

• 辞書式配列法
  アルファベット順、あいうえお順など、辞書のように場合を並べる方法。
• 樹形図
  各場合を、枝分かれの図で書き表す方法。

\(2\) つの事象 \(A\), \(B\) が同時に起こらないとする。

事象 \(A\) の起こり方が \(m\) 通り、事象 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、事象 \(A\) または事象 \(B\) のどちらかが起こる場合の数は、\(m + n\) 通りである。

事象 \(A\) の起こり方が \(m\) 通り、そのそれぞれに対して事象 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、事象 \(A\) と事象 \(B\) が両方起こる場合の数は、\(m \times n\) 通りである。

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出して順番に並べる場合の数を \({}_n \mathrm{P}_r\) と表し、「順列」という。

\begin{align}{}_n \mathrm{P}_r &= \displaystyle \frac{n!}{(n − r)!}\\&= n(n − 1)(n − 2) \cdots (n – r + 1)\end{align}

異なる \(n\) 個のものの円順列の総数は、

\begin{align}(n − 1)!\end{align}

異なる \(n\) 個のもののじゅず順列の総数は、

\begin{align}\displaystyle \frac{(n − 1)!}{2}\end{align}

異なる \(n\) 個のものの中から重複した \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる場合の数は、

\begin{align}n^r\end{align}

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出す場合の数を \({}_n \mathrm{C}_r\) と表し、「組み合わせ」という。

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_r &= \displaystyle \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!}\\&= \displaystyle \frac{n!}{r!(n − r)!}\\&= \displaystyle \frac{n(n − 1)(n − 2) \cdots (n − r + 1)}{r(r − 1)(r − 2) \cdots 1}\end{align}

同じものが \(p\) 個、\(q\) 個、\(r\) 個、…ずつ含まれ、全部で \(n\) 個あるとする。

この \(n\) 個のものすべてを並べる順列の総数は、

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_p \times {}_{n − p} \mathrm{C}_q \times {}_{n − p − q} \mathrm{C}_r \times \cdots = \displaystyle \frac{n!}{p!q!r! \cdots}\end{align}

ただし、\(p + q + r + \cdots = n\)

異なる \(n\) 個のものから重複を許して \(r\) 個を選ぶ組み合わせの総数は、

\begin{align}{}_n \mathrm{H}_r = {}_{n + r – 1} \mathrm{C}_r\end{align}

\((a + b)^n \\= {}_n \mathrm{C}_0 a^n + {}_n \mathrm{C}_1 a^{n − 1} b + {}_n \mathrm{C}_{n − 2} a^{n − 2} b^2 + \cdots\\ \,\, + {}_n \mathrm{C}_r a^r b^{n − r} + \cdots + {}_n \mathrm{C}_{n − 1} a^{n − 1} b + {}_n \mathrm{C}_n b^n\)

一般項（第 \(r + 1\) 項）は \({}_n \mathrm{C}_r a^r b^{n − r}\)

\((a + b + c)^n\) の一般項は

\begin{align}\displaystyle \frac{n!}{p! q! r!}a^p b^q c^r\end{align}

ただし、\(p\), \(q\), \(r\) は整数で以下を満たす。

\begin{align}p + q + r = n, p \geq 0, q \geq 0, r \geq 0\end{align}

ある試行において、すべての事象の起こる確率が同様に確からしいとき、起こりうるすべての事象を \(U\)、ある事象を \(A\) とすると、 \(A\) が起こる確率 \(P(A)\) は次のように表せる。

\begin{align}P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(U)}\end{align}

• \(n(A)\)：\(A\) の場合の数
• \(n(U)\)：\(U\) の場合の数

ある事象 \(A\)、全事象 \(U\)、空事象 \(\emptyset\) について、

• \(0 \leq P(A) \leq 1\)
• \(P(\emptyset) = 0\)
• \(P(U) = 1\)

事象 \(A\), \(B\) が互いに排反のとき、

\begin{align}P(A \cup B) = P(A) + P(B)\end{align}

事象 \(A\), \(B\) が互いに排反ではないとき、

\begin{align}P(A \cup B) = P(A) + P(B) − P(A \cap B)\end{align}

公式に異なる名前がついていますが、和事象の確率の公式において \(P(A \cap B) = P(\emptyset) = 0\) のときを「確率の加法定理」と呼んでいるだけですね。

• 場合の数
  全事象 \(U\) のうち、事象 \(A\) が起こる場合の数を \(n(A)\) とすると、余事象 \(\overline{A}\) が起こる場合の数 \(n(\overline{A})\) は
  \begin{align}n(\overline{A}) = n(U) − n(A)\end{align}
• 確率
  ある事象 \(A\) の確率を \(P(A)\)、その余事象の確率を \(P(\overline{A})\) とすると、
  \begin{align}P(\overline{A}) = 1 − P(A)\end{align}

前におこなった試行の結果が次の試行にまったく影響を与えないとき、これらの試行は「互いに独立である」という。

\(2\) つの独立な試行 \(S\), \(T\) において、\(S\) では事象 \(A\) が起こり、\(T\) では事象 \(B\) が起こるという事象を \(C\) とすると、

\begin{align}P(C) = P(A)P(B)\end{align}

同じ試行を何回か繰り返すとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて「反復試行」という。

\(1\) 回の試行で事象 \(A\) が起こる確率を \(p\) としたとき、この試行を \(n\) 回行う反復試行の確率で、事象 \(A\) がちょうど \(r\) 回起こる確率は、

\begin{align}{}_n \mathrm{C}_r \times p^r \times (1 − p)^{n − r}\end{align}

ある事象が起きたという条件のもとでもう \(1\) つの事象が起きる確率を「条件付き確率」という。

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率は \(P(B | A)\) または \(P_A(B)\) と表し、以下のように計算される。

\begin{align}P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\end{align}

または

\begin{align}P_A(B) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\end{align}

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率を \(P_A(B)\) とすると、

\begin{align}P(A ∩ B) = P(A)P_A(B)\end{align}

\begin{align}P(A ∩ B) = P(A)P(B)\end{align}

ある試行において、確率変数 \(X\) の取り得る値を \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)、\(X\) がその値をとる確率をそれぞれ \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) とすると、\(X\) の期待値は、

\begin{align}E[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n\end{align}

ただし、\(p_1+ p_2 + \cdots + p_n = 1\)