方程式・不等式・恒等式を総まとめ!【重要記事一覧】

方程式・不等式・恒等式に関するさまざまな知識をまとめていきます。

詳細記事へのリンクも載せていますので、気になる問題や解き方があればぜひ参考にしてくださいね!

 

式の分類【用語】

まずは、式の意味と分類を整理しておきましょう。

式(数式)とは、ある数量を数字・文字・演算記号を用いて表現したものです。

式には次の種類があります。

補足

有理式と無理式を合わせて、「代数式」といいます。

一方、代数式では表せない式を「超越式」といいます。

  • 代数式
    \(+\), \(−\), \(\times\), \(\div\), \(◯^△\), \(\sqrt{◯}\)(加減乗除冪根)の \(6\) 種類の記号を用いて表せる式
  • 超越式
    有限回の代数的演算(加減乗除冪根)では表せない式
    (指数関数,対数関数,三角関数などを含むもの)

 

単項式と多項式

単項式と多項式(整式)の意味や計算方法については以下の記事で説明しています。

多項式と単項式とは?項・次数・係数などの意味や計算問題

 

関係式(等式・不等式)

また、数量同士の関係を表した式を「関係式」といい、大きく分けて等式不等式があります。

また、等式には方程式恒等式があります。

 

方程式とは?

文字(未知の数)を含み、特定の解をもつ等式です。

方程式には、変数の種類や最高次数に応じた呼び方があり、それぞれに解き方のテクニックがあります。

 

一次方程式

一次方程式とは?利用問題(文章題)の解き方を簡単に解説!

 

二次方程式

二次方程式とは?解き方(因数分解、解の公式など)や計算問題

 

三次方程式

三次方程式とは?解き方(因数分解など)や公式・グラフを解説!

 

高次方程式

高次方程式とは?因数分解、因数定理による解き方と計算のコツ

 

連立方程式

連立方程式とは?代入法と加減法、計算問題や文章題の解き方

 

不定方程式

通常の方程式(= 解が有限個の方程式)とはアプローチがかなり異なります。

不定方程式とは?問題の解き方を種類別にわかりやすく解説!

 

恒等式とは?

文字(未知の数)を含み、どのような値を代入しても成り立つ等式です。

恒等式と方程式の違いは明確に理解しておきましょう。

恒等式とは?数値代入法、係数比較法による解き方

 

不等式とは?

数量の大小関係を示す数式です。

不等式にも、最高次数に応じた呼び方があります。

 

一次不等式

一次不等式とは?解き方や応用問題(文章題、絶対値や分数)

 

二次不等式

二次不等式とは?解き方や解の範囲の求め方、判別式の問題

 

高次不等式

高次不等式も二次不等式と同様、因数分解やグラフを利用して解くことができます。

 

連立不等式

連立不等式とは?解き方や数直線の書き方、絶対値・領域の問題

 

方程式・不等式の関連知識

方程式・不等式の問題で用いる関連知識をまとめました。

因数分解・たすき掛け

等式・不等式のどちらでも必要不可欠なテクニックです。

因数分解とは?公式や計算のやり方、問題の解き方 たすき掛けのやり方を徹底解説!因数分解の計算問題

 

判別式

方程式の解の個数を求める道具です。

判別式 D とは?D や 4 分の D の公式、グラフと解の範囲

 

重解

一般的に、\(n\) 次方程式には \(n\) 個の解が存在します。

そのうち \(2\) 個以上の解が一致した場合、それを「重解」と呼びます。

重解とは?公式や求め方、二重解との違い【練習問題付き】

 

平方完成

二次式を一次式の平方(\(2\) 乗)で表すテクニックです。

平方完成とは?公式ややり方を実際の問題でわかりやすく解説!

 

解と係数の関係

方程式の解と係数の間に成り立つ関係式です。

解と係数の関係とは?公式やその逆、証明、応用問題

 

因数定理

高次方程式や高次不等式を因数分解する際に役立つテクニックです。

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

剰余の定理

整式の割り算における、因数と余りの関係です。

剰余の定理とは?定理の証明や因数定理との違い、応用問題

 

組立除法

整式の割り算を素早く行うテクニックです。

組立除法とは?やり方や原理をわかりやすく解説!

 

対称式・交代式

文字を入れ替えても成り立つ式を「対称式」といいます。

対して、文字を入れ替えると元の式の \(−1\) 倍になる式を「交代式」といいます。

対称式や交代式の性質を利用して式の値を求めることがあります。

対称式・交代式とは?因数分解のやり方や問題の解き方

 

比例式

比が等しいことを示す式で、等式の証明問題で出てくることがあります。

比例式とは?計算問題の解き方や利用問題、比例式の作り方

 

二項定理

式の展開や、証明問題での式変形に利用することがあります。

二項定理とは?証明や応用問題の解き方をわかりやすく解説!

 

相加平均と相乗平均の大小関係

不等式の証明問題でよく利用します。

相加・相乗平均とは?使い方や大小関係の証明問題の解き方

 

線形計画法

不等式の表す領域における最大値・最小値を求めるテクニックです。

線形計画法とは?例題(文章題)の解き方をわかりやすく解説!

 

部分分数分解

\(1\) つの分数式を \(2\) つ以上の分数式の和や差に分解するテクニックです。

恒等式で登場するほか、数列(和の計算、級数展開)や積分などの分野で利用することがあります。

部分分数分解とは?公式とやり方、積分・数列の計算問題

 

以上が方程式・不等式・恒等式の記事一覧でした!

高校数学の基本とも言える分野で、覚えるべき内容も多いです。

関連記事を確認しながら、ぜひマスターしてくださいね!

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